带权图的最短路径算法(Dijkstra)实现

一，介绍

本文实现带权图的最短路径算法。给定图中一个顶点，求解该顶点到图中所有其他顶点的最短路径 以及 最短路径的长度。在决定写这篇文章之前，在网上找了很多关于Dijkstra算法实现，但大部分是不带权的。不带权的Dijkstra算法要简单得多（可参考我的另一篇：无向图的最短路径算法JAVA实现）；而对于带权的Dijkstra算法，最关键的是如何“更新邻接点的权值”。本文采用最小堆作为辅助，以重新构造堆的方式实现更新邻接点权值。

对于图而言，存在有向图和无向图。本算法只需要修改一行代码，即可同时实现带权有向图的Dijkstra和带权无向图的Dijkstra。因为，不管图是否是有向的还是无向的，只是构造图的方式不一样而已，而 Dijkstra算法都是一样的。

Dijkstra算法的实现需要一个辅助堆，用来选取当前到源点的距离 最小的那个顶点，这里采用了最小堆来实现。用最小堆保存图中所有顶点到源点的距离，因为Dijkstra算法运行过程中，需要每次选取当前到源点 距离最短 的那个顶点，这步操作用“出堆”很容易实现，但是，当选出该顶点之后， 需要不断地更新该顶点的邻接点到源点的距离。而最小堆不能很好地支持这种更新操作（关于最小堆可参考：），这也是为什么《算法导论》中推荐使用菲波拉契堆或者配对堆实现Dijkstra算法的原因。

二，Dijkstra实现思路

①初始化，源点的距离初始化为0（源点到它自己的距离当然是0了），源点的前驱顶点为null（因为是从源点开始的嘛，求源点到图中所有其他顶点的minDistance...）。所有其他顶点的前驱顶点也初始化为null，且顶点的“距离”(dist)属性初始化为无穷大(Integer.MAX_VALUE)，即其他顶点到源点的距离 为无穷大。

②构造堆。将所有的顶点按照“距离”属性(dist) 构造最小堆。显然，由于源点的“距离”属性为0，其他顶点的“距离”属性为Integer.MAX_VALUE，故最开始构造的堆的 堆顶元素为源点。

③只要堆中还存在元素(while循环)，执行deleteMin从堆中删除堆顶元素，记该元素为v，寻找v的所有邻接点，更新v的所有邻接点的距离。怎么更新的呢？就是比较：❶v的邻接点到源点的距离(dist属性)   ；  ❷v到源点的距离(dist属性) 加上  v 到v的邻接点的这条 边的权值 

v的邻接点的距离(dist属性)取 ❶ ❷ 中较小的那个。

伪代码如下：

DIJKSTRA(G,w,s)
初始化
构造堆(Q=V(G))
while(!isEmpty(Q))
      v=EXTRACT-MIN(Q)
      foreach vertex v_adj  belogns to Adj[v]
             更新v的邻接点 v_adj

三，具体代码实现

在讲解具体实现前，先介绍下如何构造图。假设图中的数据存储在文件中，文件的格式如下：

（图的顶点及边信息---暂且用无向图举例）

第一列代表顶点的编号（不用管） ；第二列表示 边的 起始顶点的标识(vertexLabel)

第三列表示 边的 终点的标识；第四列表示边的权值。比如，对于权值为1的那条边而言，它对应的 起始顶点编号为0，对应的结点顶点的编号为1

关于图的解释，可参考：

这里由于是带权图，故边类(Edge.java)需要有一个权值（边的权值）。

    private class Edge{
        private int weight;//边的权值(带权图)
        private Vertex endVertex;
        public Edge(int weight, Vertex endVertex) {
            this.weight = weight;
            this.endVertex = endVertex;
        }

图采用的是邻接表实现，因此每个顶点都会有一个邻接点列表。

     private class Vertex implements Comparable<Vertex>
     {
         private String vertexLabel;//顶点标识
         private List<Edge> adjEdges;//顶点的所有邻接边(点)
         private int dist;//顶点到源点的最短距离
         private Vertex preNode;//追溯最短路径
 
         public Vertex(String vertexLabel){
             this.vertexLabel = vertexLabel;
             adjEdges = new LinkedList<Edge>();
             dist = Integer.MAX_VALUE;
             preNode = null;
         }
 
         @Override
         public int compareTo(Vertex v) {
             if(this.dist >  v.dist)
                 return 1;
             else if(this.dist < v.dist)
                 return -1;
             return 0;
         }
     }

①第4行 adjEdges 是顶点的邻接点列表，表明图采用的是邻接表存储。第5行 dist 表示的是该顶点到源点的最短距离（从而不需要一个单独的距离数组）。第6行preNode 表示该顶点的前驱顶点， 用来记录源点到该顶点路径中经历了哪些顶点。

②Vertex类实现了Comparable接口，因为需要将顶点存储到最小堆中，而最小堆存储的元素需要实现Comparable接口(可以进行顶点的比较)。

最关键的是实现Dijkstra算法中用到的最小堆。关于最小堆的实现，可参考：数据结构--堆的实现之深入分析 本程序就是用的它。

然后是 dijkstra 的具体实现代码：

     public void dijkstra(){
         BinaryHeap<Vertex> heap = new BinaryHeap<WeightedGraph.Vertex>();
         init(heap);//inital heap
 
         while(!heap.isEmpty())
         {
             Vertex v = heap.deleteMin();
             List<Edge> adjEdges = v.adjEdges;//获取v的所有邻接点
             for (Edge e : adjEdges) {
                 Vertex adjNode = e.endVertex;
                 //update
                 if(adjNode.dist > e.weight + v.dist){
                     adjNode.dist = e.weight + v.dist;
                     adjNode.preNode = v;
                 }
             }//end for
 
             //更新之后破坏了堆序性质,需要进行堆调整,这里直接重新构造堆(相当于decreaseKey)
             heap.buildHeap();
         }
 
     }

①第7行，从堆中出一个距离源点路径最短的顶点。刚好符合堆的基本操作（删除堆顶元素），这里也体现了Dijkstra是个贪心算法。

②第8-10行，获取顶点的邻接点

③第12行--15行的if语句，执行更新操作。关于更新操作的具体解释，可参考上面的介绍。

④由于 ③中的更新操作，破坏了堆序的性质，故需要进行堆调整。但是如何调整呢？由于堆不支持将堆中某个结点的权值降低，故在第19行，直接再次建堆。以保证堆序性质 。但是这里的时间复杂度就大了，故推荐使用更好的数据结构来实现，如Fib堆，因为Fib堆的将某个结点的权值降低是很方便的。

时间复杂度简要分析如下：buildHeap()的时间复杂度为O(N)，对于图中每个顶点v，出堆时都需要重新构造堆，故最坏情况下时间复杂度为O(V^2)

整个完整代码实现如下：

import java.util.LinkedHashMap;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Map;
 
public class WeightedGraph{
    private class Vertex implements Comparable<Vertex>
    {
        private String vertexLabel;//顶点标识
        private List<Edge> adjEdges;//顶点的所有邻接边(点)
        private int dist;//顶点到源点的最短距离
        private Vertex preNode;//前驱顶点
 
        public Vertex(String vertexLabel){
            this.vertexLabel = vertexLabel;
            adjEdges = new LinkedList<Edge>();
            dist = Integer.MAX_VALUE;
            preNode = null;
        }
 
        @Override
        public int compareTo(Vertex v) {
            if(this.dist >  v.dist)
                return 1;
            else if(this.dist < v.dist)
                return -1;
            return 0;
        }
    }
 
    private class Edge{
        private int weight;//边的权值(带权图)
        private Vertex endVertex;
        public Edge(int weight, Vertex endVertex) {
            this.weight = weight;
            this.endVertex = endVertex;
        }
    }
 
    private Map<String, Vertex> weightedGraph;//存储图(各个顶点)
    private Vertex startVertex;//单源最短路径的起始顶点
 
    //图的信息保存在文件中,从文件中读取成字符串graphContent
    public WeightedGraph(String graphContent) {
        weightedGraph = new LinkedHashMap<String, WeightedGraph.Vertex>();
        buildGraph(graphContent);//解析字符串构造图
    }
    private void buildGraph(String graphContent){
        String[] lines = graphContent.split("\n");
 
        String startNodeLabel, endNodeLabel;
        Vertex startNode, endNode;
        int weight;
        for(int i = 0; i < lines.length; i++){
            String[] nodesInfo = lines[i].split(",");
            startNodeLabel = nodesInfo[1];
            endNodeLabel = nodesInfo[2];
            weight = Integer.valueOf(nodesInfo[3]);
 
            endNode = weightedGraph.get(endNodeLabel);
            if(endNode == null){
                endNode = new Vertex(endNodeLabel);
                weightedGraph.put(endNodeLabel, endNode);
            }
 
            startNode = weightedGraph.get(startNodeLabel);
            if(startNode == null){
                startNode = new Vertex(startNodeLabel);
                weightedGraph.put(startNodeLabel, startNode);
            }
            Edge e = new Edge(weight, endNode);
            //对于无向图而言,起点和终点都要添加边
//            endNode.adjEdges.add(e);
            startNode.adjEdges.add(e);
        }
        startVertex = weightedGraph.get(lines[0].split(",")[1]);//总是以文件中第一行第二列的那个标识顶点作为源点
    }
 
    public void dijkstra(){
        BinaryHeap<Vertex> heap = new BinaryHeap<WeightedGraph.Vertex>();
        init(heap);//inital heap
 
        while(!heap.isEmpty())
        {
            Vertex v = heap.deleteMin();
            List<Edge> adjEdges = v.adjEdges;//获取v的所有邻接点
            for (Edge e : adjEdges) {
                Vertex adjNode = e.endVertex;
                //update
                if(adjNode.dist > e.weight + v.dist){
                    adjNode.dist = e.weight + v.dist;
                    adjNode.preNode = v;
                }
            }//end for
 
            //更新之后破坏了堆序性质,需要进行堆调整,这里直接重新构造堆(相当于decreaseKey)
            heap.buildHeap();
        }
 
    }
    private void init(BinaryHeap<Vertex> heap){
        startVertex.dist = 0;//源点到其自身的距离为0
        for (Vertex v : weightedGraph.values()) {
            heap.insert(v);
        }
    }
 
    public void showDistance(){
        for (Vertex v : weightedGraph.values()) {
            printPath(v);
            System.out.println();
            System.out.println("顶点 " + v.vertexLabel + "到源点"  + startVertex.vertexLabel + " 的距离: " + v.dist);
        }
    }
 
    //打印源点到 end 顶点的 最短路径
    private void printPath(Vertex end)
    {
        if(end.preNode != null)
            printPath(end.preNode);
        System.out.print(end.vertexLabel + "--> ");
    }
}

buildGraph()方法中：如果是有向图，只需要起点添加边；如果是无向图，则起点和终点都需要添加边。但不管是有向图还是无向图Dijkstra算法都一样。

            Edge e = new Edge(weight, endNode);
            //对于无向图而言,起点和终点都要添加边
//            endNode.adjEdges.add(e);
            startNode.adjEdges.add(e);

关于如何测试WeightedGraph.java，需要构造一个图。构造图：可参考有向图的拓扑排序算法JAVA实现 中的“完整代码实现”中的FileUtil.java 和 TestXXX.java

public class TestDijkstra {
    public static void main(String[] args) {
           String graphFilePath;
            if(args.length == 0)
                graphFilePath = "F:\\graph2.txt";
            else
                graphFilePath = args[0];
 
            String graphContent = FileUtil.read(graphFilePath, null);
            WeightedGraph graph = new WeightedGraph(graphContent);
            graph.dijkstra();
 
            graph.showDistance();
    }
}