SG函数 专题练习

【hdu1536】【poj2960】S-Nim

题意

题意就是给出一个数组h，为每次可以取石子的数目。

然后给你n堆石子每堆si。求解先手能不能赢？

分析

根据\(h\)数组预处理出\(sg[i]\)表示\(i\)个石子对应的\(sg\)值。

然后\(sg[s_1]\otimes sg[s_2]\otimes ...\otimes sg[s_n]\)即可。

小结

SG函数的使用，通常是ICG模型上不只存在一个石子。

如果只存在一个，可以简化SG函数，直接用布尔值代替。这样的普适性虽然没这么高，但是可以降低运算复杂度。

【hdu1848】Fibonacci again and again

题意

题意：取石子问题，一共有3堆石子，每次只能取斐波那契数个石子，先取完石子者胜利，问先手胜还是后手胜

\(n,m,p\leq 1000\)

分析

预处理斐波那契数。

求sg值。

【hdu1847】Good Luck in CET-4 Everybody!

题意

1、 总共n张牌;

2、 双方轮流抓牌；

3、 每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）

4、 抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；

分析1

计算SG函数。

    sg[0]=0;
    rep(i,1,U_N) {
        for (int j=1;j<=i;j<<=1)
            mrk[sg[i-j]]=i;
        rep(j,0,i+1)
            if (mrk[j]!=i) {
                sg[i]=j;
                break;
            }
    }

分析2

其实分析1过于复杂了。

根本不用求出SG函数的值，因为我们只有单一的石子在移动。

我们只用算出SG值对应的布尔值即可。

    rep(i,1,U_N) {
        for (int j=1;j<=i;j<<=1)
            if (!sg[i-j]) {
                sg[i]=1;
                break;
            }
    }

分析3

分析2的方法可以进行记忆化搜索。

这就是所谓的对抗搜索。

分析4

由于涉及到了2的幂，这看似有进一步的规律可循。

直接打表，进一步的找SG函数的规律，化简运算复杂度。

发现呈现110110110110......的规律。

直接OK了。

    while (~scanf("%d",&n)) {
        if (n%3!=0)
            printf("Kiki\n");
        else printf("Cici\n");
    }

小结

（1）博弈问题的思路：

①找规律

②对抗搜索 or 递推

③SG函数

从上到下由简到繁。

（2）注意SG的值的上下界。

SG的取值或许有一个较小的上界。

SG的取值总长均摊下来或许比想象中优。

对于一般的情况，有\(sg[i]<i的度数\)

对于线性的情况，必定有\(sg[i]<i\)

【hdu3032】Nim or not Nim?

题意

每一轮从两种操作中做一种：

①取走任意个石子

②分成两堆

\(每堆石子数\leq 10^9\)

分析

首先求出\(sg\)。

\(sg[n]=mex(sg[0],sg[1],...,sg[n-1],sg[0]\otimes sg[n],sg[1]\otimes sg[n-1],sg[2]\otimes sg[n-2],...,sg[n]\otimes sg[0])\)

直接求解\(O(n^2)\)，不行，所以必然找规律化简。

发现：

int SG(int x) {
    if (x%4==1) return x;
    else if (x%4==2) return x;
    else if (x%4==3) return x+1;
    else if (x%4==0) return x-1;
}

核心代码

int cas;
int n;
int xorSum;

int SG(int x) {
    if (x%4==1) return x;
    else if (x%4==2) return x;
    else if (x%4==3) return x+1;
    else if (x%4==0) return x-1;
}

int main(void) {
    #ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("xsy1159.in","r",stdin);
    freopen("xsy1159.out","w",stdout);
    #endif

    cas=rd();
    rep(tms,1,cas) {
        n=rd(); xorSum=0;
        rep(i,1,n) xorSum^=SG(rd());
        if (xorSum>0) printf("Alice\n"); else printf("Bob\n");
    }

    return 0;
} 

小结

（1）做这道题的时候第一次错了，因为暴力求SG写错了。

所以这启示我不论什么程序都要好好写，就算没有好好写都要检查一遍。

（2）一个状态的集合也可以当做一个单点的SG。

【xsy1159】【gzoi2015】石子游戏

题意

Alice 和 Bob 总喜欢聚在一起玩游戏（T­_T），今天他（她）们玩的是一款新型的取石子游戏。游戏一开始有 N 堆石子，Alice 和 Bob 轮流取出石子。在每次操作中，游戏者必须选择其中的一堆石子，并作出下列的其中一种操作：

(1)移去整堆石子

(2)假设石子堆中有 X 颗石子，取出 Y 颗石子，其中 1≤Y<X ，且 gcd(X,Y)=1

游戏结束的条件是：取出最后一颗石子的人胜出。众所周知，Alice和Bob都是绝顶聪明的，假设他们在游戏中都采取最优的策略，问最后谁会胜出游戏呢？

\(T,N\leq 100\)

\(石子个数\leq 10^6\)

分析

【定义1】

若\(n=1\)，则\(s_n=1\)

若\(n>1\)，则\(s_n=mex_{1\leq i\leq n且(i,n)=1}(s_i)\)

【定义2】

函数\(r\)是\(Z\)到\(Z\)的一个映射，即\(r:Z\rightarrow Z\)，\(r(n)\)表示比\(n\)小的素数个数。

例如：\(r(2)=1,r(3)=2,r(5)=3\)

【定义3】

\(m(n)\)：\(n\)的最小正因子

例如：\(m(2)=2,m(15)=3,m(16)=2,m(56)=7\)

【定理1（\(s_n\)的封闭形式）】

对于任意整数\(n\)，\(n>1\)，\(s_n=s_{m(n)}=r(m(n))+1\)

证明：（1）当\(n=1\)时，\(r(m(n))=r(1)+1=1\)，\(s_1=1\)

\(\therefore s_1=r(m(1))+1\)

（2）假设当\(n<k\)时都成立，求证当\(n=k\)时亦成立

①当\(k\)为素数时，

\(s_k=mex(s_1,s_2,...,s_{k-1})=r(k)+1\)

②当\(k\)为合数时，

要证：\(s_k=r(m(k))+1\Leftrightarrow mex_{1\leq i<k且(i,k)=1}(s_i)=r(m(k))+1\)

即证：满足以下两个条件

A. \(\forall x\in[1,r(m(k))],\exists i\in[1,k)且(i,k)=1,s.t.s_i=x\)

B. \(\not\exists i\in [1,k)且(i,k)=1,s.t.s_i=r(m(k))+1\)

条件A证明：取1和比\(m(k)\)小的素数即可一一构造出来

条件B证明：\(s_i=r(m(i))+1=r(m(k))+1\)

即要使得\(m(i)=m(k)\)

而\(i\)与\(k\)互质，所以一定不存在。

综上，对于任意整数\(n\)，\(n>1\)，\(s_n=s_{m(n)}=r(m(n))+1\)

证毕！

上面摆了整个证明的过程。

那么，思考的过程应该是怎么样的？怎么才能推出这样的答案呢？

首先，最基本的，我列出了\(s\)的\(O(n\log n)\)递推一位的关系式。

接下来，需要考虑的就是怎么优化了，即怎么找规律。

嗯，由于这道题涉及了gcd，所以规律应该会和素数、质因数分解一类的有些关系，就让我写个暴力的程序，先找找素数的规律。

发现了\(s_k=r(k)+1\)。

那么，对于合数，又有怎样的规律呢？

由于数据范围比较大，我想到了线性筛，所以要在线性筛的过程中求解sg函数吗。

所以应该会和最小质因子有关系，发现和最小质因子的值直接相同了！

规律寻找完毕！！

小结

那么，这道题目给了我怎么的启发呢？

像这样一道题，它明显地摆着是要找规律了。那我就先根据一些特性猜测一下规律，写个程序或者手算小数据看看。

核心代码

void init(void)
{
    sg[1]=v[1]=used[1]=1,tt=2;
    for (int i=2;i<M;i++)
    {
        if (!v[i])
        {
            p[++p[0]]=i;
            sg[i]=p[0]+1;
            for (;used[tt];tt++);
            pre[p[0]]=tt;
        }
        for (int j=1;j<=p[0];j++)
        {
            if (i*p[j]>=M) break;
            v[i*p[j]]=1,sg[i*p[j]]=pre[j];
            if (i%p[j]==0) break;
        }
        used[sg[i]]++;
    }
}