「NOIP2014」联合权值

传送门

Luogu

解题思路

因为这是一棵树，所以说两个点如果能产生联合权值，那么它们就只能通过唯一的一个中转点来匹配，所以我们就枚举这个中转点。

但是我们又会发现，如果把每个点周围的点抠出来进行两两匹配，复杂度显然是承受不住的。

考虑数学推导：

对于数列 \(\{a_n\}\)，两两进行匹配得到的联合权值结果为：

\[\sum_{i < j}2a_ia_j=\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2-\sum_{i=1}^na_i^2
\]

这个应该很显然吧 难道你完全平方公式都不会吗

所以我们就很好统计和了，最大值的话也就只要选出最大的两个 \(a_i\) 进行匹配就好了。

细节注意事项

• 此题最大坑点：最大值不用取模输出，和要取模输出

参考代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <ctime>
#define rg register
using namespace std;
template < typename T > inline void read(T& s) {
	s = 0; int f = 0; char c = getchar();
	while (!isdigit(c)) f |= c == '-', c = getchar();
	while (isdigit(c)) s = s * 10 + (c ^ 48), c = getchar();
	s = f ? -s : s;
}

const int p = 10007;
const int _ = 200002;

int n, val[_];
int tot, head[_], nxt[_ << 1], ver[_ << 1];
inline void Add_edge(int u, int v)
{ nxt[++tot] = head[u], head[u] = tot, ver[tot] = v; }

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
 	freopen("in.in", "r", stdin);
#endif
	read(n);
	for (rg int u, v, i = 1; i < n; ++i)
		read(u), read(v), Add_edge(u, v), Add_edge(v, u);
	for (rg int i = 1; i <= n; ++i) read(val[i]);
	int ans1 = 0, ans2 = 0;
	for (rg int u = 1; u <= n; ++u) {
		int mx = 0, _mx = 0, sum1 = 0, sum2 = 0;
		for (rg int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
			int w = val[ver[i]];
			if (w > mx) _mx = mx, mx = w;
			else if (w > _mx) _mx = w;
			sum1 = (sum1 + w) % p;
			sum2 = (sum2 + 1ll * w * w % p) % p;
		}
		ans1 = max(ans1, mx * _mx);
		ans2 = (ans2 + 1ll * sum1 * sum1 - sum2) % p;
	}
	printf("%d %d\n", ans1, ans2 % p);
	return 0;
}

完结撒花 \(qwq\)