01背包问题大二的时候就接触过了,几行关键代码自己也都看过很多遍了,但是很多代码一直都没能理解。所以今天拿表来好好地画一画,弄懂其中的动态规划究竟什么含义。

1038 : 01背包

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描述

且说上一周的故事里,小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券!而现在,终于到了小Ho领取奖励的时刻了!

小Ho现在手上有M张奖券,而奖品区有N件奖品,分别标号为1到N,其中第i件奖品需要need(i)张奖券进行兑换,同时也只能兑换一次,为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费,小Ho给每件奖品都评了分,其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道,凭借他手上的这些奖券,可以换到哪些奖品,使得这些奖品的喜好值之和能够最大。

输入:

每个测试点(输入文件)有且仅有一组测试数据。

每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的个数,以及小Ho手中的奖券数。

接下来的n行描述每一行描述一个奖品,其中第i行为两个整数need(i)和value(i),意义如前文所述。

测试数据保证

对于100%的数据,N的值不超过500,M的值不超过10^5

对于100%的数据,need(i)不超过2*10^5, value(i)不超过10^3

输出:

对于每组测试数据,输出一个整数Ans,表示小Ho可以获得的总喜好值。

样例输入

5 1000

144 990

487 436

210 673

567 58

1056 897

样例输出

2099

看了http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810

这篇博客的01背包解释,自己动手画了画表格,弄懂了很多, 原博主很厉害,很佩服,讲得很清楚,我这里班门弄斧了,只是自己想把其中一些细节写一些,好让自己好好思考思考。注意本表格是从上至下、从左至右画出来的。

假设,有a、b、c、d、e五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?

首先,我们建立一个这样的表:



假设单元格设为best,那么比方说best[c][5]是第四行第八列,其含义是当前包的承重为5时,在能选a、b、c物品的前提下,包中物品的最大价值。

所以理解了这个含义之后,先填第一行表,就很容易了。如表2。



第二行其他的空没什么好说的,能装下两个肯定要尽量装下两个,装不下两个的挑最值钱的。有意思一个的地方在于best[b][2],此时它即能装a也能装b(……),那这样的话,装什么呢,你不服我不服,比一下吧,怎么比?

注意站在此时的角度的话

best[b][2]=best[a][2]代表着不装b的选项。

best[b][2]=best[a][0]+value(b)代表着装b(best[a][0]由其含义可知自然等于0),为什么?因为你要装b的话自然要在之前留有b的重量的空间啊,就是2啊,这要扣除,才能加上value(b)。所以best[a][0]相当于打了一个提前量,为后面装b留足空间。这就是我所理解的01背包问题其表达式的含义。

第三行与此同理,想装c的话,自然要在b那里留有c的重量空间,又因为这时b的每一个空格都是最优选项了,所以这么一比较肯定也是当前的最优值。

这样从上到下,从左至右就能填出此表。此时最优解根据单元格的含义可知,是best[e][10]。

所以根据表格总结规律,可以得到表达式

best[i][j]=max(best[i-1][j-need[i]]+value[i],best[i-1][j])

上代码:

#include <iostream>
using namespace std; int value[505];
int need[505]; int best[505][100005]={0}; int main()
{
int total_num,total_weight,count;
cin>>total_num>>total_weight; for(count=1;count<=total_num;count++)
{
cin>>need[count]>>value[count];
} int i,j;
for(i=1;i<=total_num;i++)
{
for(j=0;j<=total_weight;j++)
{
if(j<need[i])
best[i][j]=best[i-1][j];
else
best[i][j]=max(best[i-1][j],best[i-1][j-need[i]]+value[i]);
}
}
cout<<best[total_num][total_weight]; return 0;
}

最后是空间问题:

注意到,在算best[c]这一行的空格时,只有best[b]有用了,best[a]此时已经没有用了。而在算best[d]这一行时,又是只有best[c]有用了,best[b]又没用了。

可见,在整个程序过程中,一直在使用的是两个total_num大的数组而已,而不需要开辟之前那么多的空间了。

#include <iostream>
using namespace std; int value[505];
int need[505]; int best1[200005]={0};
int best2[200005]={0}; int main()
{
int total_num,total_weight,count;
cin>>total_num>>total_weight; for(count=1;count<=total_num;count++)
{
cin>>need[count]>>value[count];
} int i,j;
for(i=1;i<=total_num;i++)
{
for(j=0;j<=total_weight;j++)
{
if(i%2==0)
{
if(j<need[i])
best1[j]=best2[j];
else
best1[j]=max(best2[j],best2[j-need[i]]+value[i]);
}
else
{
if(j<need[i])
best2[j]=best1[j];
else
best2[j]=max(best1[j],best1[j-need[i]]+value[i]);
}
}
}
cout<<max(best1[total_weight],best2[total_weight]); return 0;

再优化一下空间,

填表格的时候是从左至右的,填右面的只会用到左面的表格,所以其实一个total_num大的数组就足够了。

#include <iostream>
using namespace std; int value[505];
int need[505]; int best1[200005]={0}; int main()
{
int total_num,total_weight,count;
cin>>total_num>>total_weight; for(count=1;count<=total_num;count++)
{
cin>>need[count]>>value[count];
} int i,j;
for(i=1;i<=total_num;i++)
{
for(j=total_weight;j>=need[i];j--)
{
best1[j]=max(best1[j],best1[j-need[i]]+value[i]);
}
}
cout<<best1[total_weight];
return 0;
}

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