• 二阶泰勒展开:

    f(x)=f(0)+f′Tx+12xTf′′x+o(⋅)

    对等式右端求导,并置 0,得 x=f′′−1f′

1. 方向导数与梯度

设有单位向量 h=(h1,h2,⋯,hn)∈Rn(当然不要求 hi 之间必须相等),它表示 n 维空间中的一个方向(长度是单位 1),可微(多元)函数 f(x) 在点 x 沿 h 方向的方向导数(directional derivative,沿着某方向的导数)定义为:

∂f(x)∂h=limα→0+f(x+αh)−f(x)α

对 f(x+αh) 执行(在 x 处)泰勒展开:

f(x+αh)=f(x)+∇f(x)T(αh)+o(∥αh∥)

因此方向导数定义式进一步可化为:

∂f(x)∂h===∇f(x)T(αh)+o(∥αh∥)α∇f(x)Th∥∇f(x)∥cos(∇f(x),h)

所以其沿任意方向的导数为:hT∇f:

  • 大于 0,为上升方向(f(x+αh)−f(x)>0);
  • 小于 0,则为下降方向(f(x+αh)−f(x)<0);
  • cos(∇f(x),h)=1(夹角为 0°,h=∇f) 时,∂f∂h 取的最大值,为 ∥∇f∥,h=∇f 为最速上升方向;
  • cos(∇f(x),h)=−1(夹角为 180°,h=−∇f) 时,∂f∂h 取得最小值,为 −∥∇f∥,h=−∇f 为最速下降方向;

2. 几种特殊类型的函数,求梯度

自然是对自变量 x 求偏导;求梯度得到的是一个列向量;

  • bTx=∑ibixi,则 ∇bTx=b

  • xTx=∑ix2i,则 ∇xTx=2x

  • xTAx(AT=A),则 ∇xTAx=2Ax

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