• 二阶泰勒展开:

    f(x)=f(0)+f′Tx+12xTf′′x+o(⋅)

    对等式右端求导,并置 0,得 x=f′′−1f′

1. 方向导数与梯度

设有单位向量 h=(h1,h2,⋯,hn)∈Rn(当然不要求 hi 之间必须相等),它表示 n 维空间中的一个方向(长度是单位 1),可微(多元)函数 f(x) 在点 x 沿 h 方向的方向导数(directional derivative,沿着某方向的导数)定义为:

∂f(x)∂h=limα→0+f(x+αh)−f(x)α

对 f(x+αh) 执行(在 x 处)泰勒展开:

f(x+αh)=f(x)+∇f(x)T(αh)+o(∥αh∥)

因此方向导数定义式进一步可化为:

∂f(x)∂h===∇f(x)T(αh)+o(∥αh∥)α∇f(x)Th∥∇f(x)∥cos(∇f(x),h)

所以其沿任意方向的导数为:hT∇f:

  • 大于 0,为上升方向(f(x+αh)−f(x)>0);
  • 小于 0,则为下降方向(f(x+αh)−f(x)<0);
  • cos(∇f(x),h)=1(夹角为 0°,h=∇f) 时,∂f∂h 取的最大值,为 ∥∇f∥,h=∇f 为最速上升方向;
  • cos(∇f(x),h)=−1(夹角为 180°,h=−∇f) 时,∂f∂h 取得最小值,为 −∥∇f∥,h=−∇f 为最速下降方向;

2. 几种特殊类型的函数,求梯度

自然是对自变量 x 求偏导;求梯度得到的是一个列向量;

  • bTx=∑ibixi,则 ∇bTx=b

  • xTx=∑ix2i,则 ∇xTx=2x

  • xTAx(AT=A),则 ∇xTAx=2Ax

多元函数(multivariate function)分析(方向导数和梯度)的更多相关文章

  1. 方向导数,梯度和梯度下降之BGD,SGD

    方向导数和梯度的直观理解,from知乎-马同学: https://www.zhihu.com/question/36301367 BGD,SGD: https://www.cnblogs.com/gu ...

  2. ML(附录1)——梯度下降

    梯度下降是迭代法的一种,可以用于求解最小二乘问题(线性和非线性都可以).在求解机器学习算法的模型参数,即无约束优化问题时,梯度下降(Gradient Descent)是最常采用的方法之一,另一种常用的 ...

  3. [机器学习] ML重要概念:梯度(Gradient)与梯度下降法(Gradient Descent)

    引言 机器学习栏目记录我在学习Machine Learning过程的一些心得笔记,涵盖线性回归.逻辑回归.Softmax回归.神经网络和SVM等等,主要学习资料来自网上的免费课程和一些经典书籍,免费课 ...

  4. HDU5875:Function

    题目链接: Function 分析: icpccamp里的方法不会,我用了一个nex[]数组存储当前点ai需要取模的下一个点aj的编号j,如果aj>ai,就不用遍历. 时间为920ms 代码: ...

  5. 机器学习数学|微积分梯度jensen不等式

    机器学习中的数学 觉得有用的话,欢迎一起讨论相互学习~Follow Me 原创文章,如需转载请保留出处 本博客为七月在线邹博老师机器学习数学课程学习笔记 索引 微积分,梯度和Jensen不等式 Tay ...

  6. python数学第三天【方向导数】

    1.方向导数 2. 梯度 3. 凸函数: 4. 凸函数的判定 5. 凸函数的一般表示 6. 凸性质的应用

  7. logistics回归简单应用——梯度下降,梯度上升,牛顿算法(一)

    警告:本文为小白入门学习笔记 由于之前写过详细的过程,所以接下来就简单描述,主要写实现中遇到的问题. 数据集是关于80人两门成绩来区分能否入学: 数据集: http://openclassroom.s ...

  8. 梯度下降法原理与python实现

    梯度下降法(Gradient descent)是一个一阶最优化算法,通常也称为最速下降法. 要使用梯度下降法找到一个函数的局部极小值,必须向函数上当前点对应梯度(或者是近似梯度)的反方向的规定步长距离 ...

  9. 各种梯度下降 bgd sgd mbgd adam

    转载  https://blog.csdn.net/itchosen/article/details/77200322 各种神经网络优化算法:从梯度下降到Adam方法     在调整模型更新权重和偏差 ...

随机推荐

  1. Spring的事务管理和数据库事务相关知识

    1 初步理解 理解事务之前,先讲一个你日常生活中最常干的事:取钱.         比如你去ATM机取1000块钱,大体有两个步骤:首先输入密码金额,银行卡扣掉1000元钱:然后ATM出1000元钱. ...

  2. ios开发知识点补充

    一:self class,self superClass  super class  super superClass 的区别 新建SubPerson继承person,在SubPerson中打印如下: ...

  3. USB 3.0规范中译本 第3章 USB 3.0体系结构概览

    本文为CoryXie原创译文,转载及有任何问题请联系cory.xie#gmail.com. 本章呈现USB 3.0体系结构和关键概念的概览.USB 3.0与前面版本的USB类似,因为它是线缆总线,支持 ...

  4. Web报表工具FineReport实现EXCEL数据导入自由报表

    在制作填报报表的时候.对于空白填报表,经常导出为Excel,派发给各部门人员填写后上交.怎样能避免手动输入,直接将Excel中的数据导入到填报表中提交入库呢? 这里以一个简单的员工信息填报演示样例进行 ...

  5. 开发文档生成工具----强大的Doxygen工具使用手册

    张三:假如我们自己开发了一个类库,怎么做一个方便阅读的文档呢? 李四:一个方法一个方法地写呗,就像写Excel文档一下. 张三:啊,你out了,这多慢呀.为什么不玩玩doxygen工具,它能帮你生成文 ...

  6. iOS 项目的文件夹结构能看出你的开发经验

    近期有师弟去面试iOS开发,他谈论到,面试官既然问他怎么分文件夹结构的,并且还详细问到每一个子文件夹的文件名称. 文件夹结构确实非常重要.面试官问他这些无疑是想窥探他的开发经验.清晰的文件夹结构,可让 ...

  7. window对象属性alert、confirm、prompt怎么使用?

    window对象属性alert.confirm.prompt怎么使用? 一.总结 1.参数依次复杂,返回值依次复杂,但是感觉都是一一继承的,所以很好想也很好写. 二.window对象alert.con ...

  8. 【t082】牛跑步

    Time Limit: 1 second Memory Limit: 128 MB [问题描述] 新牛到部队,CG要求它们每天早上搞晨跑,从A农场跑到B农场.从A农场到B农场中有n-2个路口,分别标上 ...

  9. TI_DSP_SRIO - Doorbell原理

    前文介绍到SRIO有多种类型的包,当中包括了Doorbell包,Doorbell是一种高速的通知类型的短消息,包头和携带信息都非常短,用于master srio设备通知slave srio设备,可用于 ...

  10. MySQL经常使用的面试题

    1.怎样登陆mysql数据库 MySQL -u username -p 2.怎样开启/关闭mysql服务 service mysql start/stop 3.查看mysql的状态 service m ...