题目链接

题目

题目描述

有一种有趣的游戏,玩法如下:

玩家:2人;

道具:N堆石子,每堆石子的数量分别为 \(X_1,X_2,...,X_n\) ​;

规则:

  1. ​ 游戏双方轮流取石子;
  2. ​ 每人每次选一堆石子,并从中取走若干颗石子(至少取1颗);
  3. ​ 所有石子被取完,则游戏结束;
  4. ​ 如果轮到某人取时已没有石子可取,那此人算负。

假如两个游戏玩家都非常聪明,问谁胜谁负?

输入描述

第一行,一个整数N;

第二行,N个空格间隔的整数 \(X_i\) ,表示每一堆石子的颗数。

输出描述

输出仅一行,一个整数,若先手获胜输出win,后手获胜输出lose。

示例1

输入

4
7 12 9 15

输出

win

备注

对于全部数据,\(N \leq 5 \times10^4,1 \leq X_i \leq 10^5\) 。

题解

知识点:博弈论。

经典的Nim游戏,当所有石子数的异或和为 \(0\) 先手必败,否则必胜。

我们设 \(\displaystyle \bigoplus_{i=1}^n a_i = 0\) 时为必败态,否则为必胜态(这里只是假设,字面上的意义还需要证明),考虑证明:

  1. 游戏终止状态为必败态:

    终止状态为全 \(0\) ,满足我们的假设。

  2. 必败态只能转到必胜态:

    假设存在合法操作使得必败态转到必败态,那么存在一个石子堆被改变了,不妨设它新的数量为 \(a_i'\) ,设其他没有改变的石子堆的异或和为 \(sum\) ,我们可以得到 \(sum \oplus a_i' = sum \oplus a_i = 0\) ,最后 \(a_i' = a_i\) 矛盾。

    因此必败态只能转到必胜态。

  3. 必胜态可以转到必败态:

    我们设当前异或和为 \(sum\) ,设 \(sum\) 二进制最高位为第 \(k\) 位,那么一定存在一个石子堆的数量二进制第 \(k\) 位为 \(1\) ,不妨假设这堆石子为 \(a_i\) 。此时,我们有 \(a_i \oplus sum < a_i\) ,因为 \(sum\) 不会改变 \(a_i\) 更高位的状态,但会使得 \(a_i\) 的第 \(k\) 位变为 \(0\) 。那么,我们可以从 \(a_i\) 中拿出 \(a_i - (a_i \oplus sum)\) 个石子,此时 \(a_i \to a_i \oplus sum\) ,于是异或和就变为 \(sum \oplus sum = 0\) 。

    因此必胜态可以转到必败态。

综上,我们证明了我们假设的必胜态和必败态确实是实际意义上的必胜和必败,并且这是一个构造性证明。

时间复杂度 \(O(n)\)

空间复杂度 \(O(n)\)

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long; int main() {
std::ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int n;
cin >> n;
int sum = 0;
for (int i = 1;i <= n;i++) {
int x;
cin >> x;
sum ^= x;
}
cout << (sum ? "win" : "lose") << '\n';
return 0;
}

NC50615 取石子游戏 2的更多相关文章

  1. Games:取石子游戏(POJ 1067)

    取石子游戏 Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 37662   Accepted: 12594 Descripti ...

  2. HDU 2516 取石子游戏(斐波那契博弈)

    取石子游戏 Time Limit: 2000/1000 MS(Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submissi ...

  3. hdu 1527 取石子游戏(Wythoff Game)

    题意:Wythoff Game 思路:Wythoff Game #include<iostream> #include<stdio.h> #include<math.h& ...

  4. HDU 2516 取石子游戏(FIB博弈)

    取石子游戏 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submi ...

  5. 1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戏 - BZOJ

    Description小H和小Z正在玩一个取石子游戏. 取石子游戏的规则是这样的,每个人每次可以从一堆石子中取出若干个石子,每次取石子的个数有限制,谁不能取石子时就会输掉游戏. 小H先进行操作,他想问 ...

  6. HDU-1527 取石子游戏

    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1527 交换  :可实现. if( n < m ) { n^=m; m^=n; n^=m; } (三)尼姆博 ...

  7. bzoj 1874 取石子游戏 题解 &amp; SG函数初探

    [原题] 1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戏 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 162 MB Submit: 334  Solved ...

  8. HDU 2516 取石子游戏 (博弈论)

    取石子游戏 Problem Description 1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次能够取随意多个,但不能所有取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍.取完者胜.先取者负输出" ...

  9. 【POJ】1067 取石子游戏(博弈论)

    Description 有两堆石子,数量任意,可以不同.游戏开始由两个人轮流取石子.游戏规定,每次有两种不同的取法,一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子:二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子.最后 ...

  10. vijos 1557:bzoj:1413: [ZJOI2009]取石子游戏

    Description 在研究过Nim游戏及各种变种之后,Orez又发现了一种全新的取石子游戏,这个游戏是这样的: 有n堆石子,将这n堆石子摆成一排.游戏由两个人进行,两人轮流操作,每次操作者都可以从 ...

随机推荐

  1. Dubbo入门1:Spirngboot+Dubbo2.6.0整合

    整合springboot+dubbo2.6.0 demo 本文简要说明了springboot和dubbo整合的配置文件的写法 目录结构 整体目录 如下图所示:整体项目是一个父子工程,common作为一 ...

  2. MCU芯片架构设计

    目录 1.应用场景 主要是I2C\UART\SPI协议 2.Cortex-M3 MCU成本与工艺选型 按照晶圆进行收费,28nm,12寸晶圆,400万美金 晶圆是圆形的,die是方形的,会存在浪费 p ...

  3. Clock Domain Crossing

    Clock Domain Crossing CDC问题主要有亚稳态问题,多比特信号同步,握手信号同步,异步Fifo等 Topics Describe the SoC Design Issues Und ...

  4. 使用JavaStream将List转为Map

    有的时候博客内容会有变动,首发博客是最新的,其他博客地址可能会未同步,认准https://blog.zysicyj.top 首发博客地址 系列文章地址 使用Java Stream将List转换为Map ...

  5. [转帖]【SQL Server】varchar和nvarchar的基本介绍及其区别

    https://www.cnblogs.com/zhaoyl9/p/15243556.html varchar(n) 长度为 n 个字节的可变长度且非 Unicode 的字符数据.n 必须是一个介于 ...

  6. [转帖]一文说清 Linux System Load

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/447661302 双十一压测过程中,常见的问题之一就是load 飙高,通常这个时候业务上都有受影响,比如服务rt飙高,比如机器无法登录,比如 ...

  7. JRC Flink流作业调优指南

    # 作者:京东物流 康琪 本文综合Apache Flink原理与京东实时计算平台(JRC)的背景,详细讲述了大规模Flink流作业的调优方法.通过阅读本文,读者可了解Flink流作业的通用调优措施,并 ...

  8. iframe父页面传递参数给子页面

    父页面通过ifarame传递参数 有些时候,我们需要在嵌套页面. 我们就需要使用iframe了. 通过iframe传递参数给子页面. 需求描述,当我们点击按钮的时候. 传递参数给子页面.子页面接受后展 ...

  9. 【记录一个问题】gin框架中,ShouldBindUri()函数依赖特定版本编译器,更换库的版本号后导致panic

    panic发生在这一行: uriBindErr = c.ShouldBindUri(methodLastInParam.Interface()) 导致panic的堆栈信息如下: err=reflect ...

  10. NetCore高级系列文章03---中间件

    .net web 一路发展过来,经历了 .net webfrom. .net Mvc ..net core不论哪种架构,都会对用户的请求到达服务器后经历一系列类似于管道的处理.在.net webfro ...