欧拉工程第51题:Prime digit replacements
题目:
通过置换*3的第一位得到的9个数中,有六个是质数:13,23,43,53,73和83。
通过用同样的数字置换56**3的第三位和第四位,这个五位数是第一个能够得到七个质数的数字,得到的质数是:56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, 和 56993。因此其中最小的56003就是具有这个性质的最小的质数。
找出最小的质数,通过用同样的数字置换其中的一部分(不一定是相邻的部分),能够得到八个质数。
解题思想:
这个题目是很难的
你首先要找到可能替换匹配的模板
唯一的信息就是这个数是质数,除1和本身外不能别其他整数整除。
这个数不能被三整除,(根据不能被三整除,找出这个数的模板,这个是在网上看到的),这个数一定不能被三整除。
假设这八个质数是5位数
假设这个5位数各位数字是:a、b、c、d、e
(a+b+c+d+e)%3只能取1,2
若是只替换其中1位:
e
下面对(a+b+c+d)%3 的取值分类讨论
1.(a+b+c+d)%3==0,e%3==1,2.e 取值:1,2,4,7,8,最多只能有5个这样的质数
2.(a+b+c+d)%3==1 ,e%3==0,1 e 取值:0,1,3,4,6,7,9,不合适
3..(a+b+c+d)%3==2 ,e %3==0,2 .e 取值:0,3,5,6,8,9,不合适
若是只替换其中2位:
d == e
下面对(a+b+c)%3 的取值分类讨论
1.(a+b+c)%3==0,2e%3==1,2.e 取值:1,2,4,5,7,8,不合适
2.(a+b+c)%3==1 ,2e%3==0,1 e 取值:0,2,3,5,6,8,9,不合适
3..(a+b+c)%3==2 ,2e %3==0,2 .e 取值:0,1,3,4,6,7,9,不合适
若是只替换其中3位:
c==d == e
下面对(a+b)%3 的取值分类讨论
1.(a+b)%3==0,3e%3==1,2.无值可取,不合适
2.(a+b)%3==1 ,3e%3==0,1 e 取值:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,合适
3..(a+b)%3==2 ,3e %3==0,2 .e 取值:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,合适
根据上面可以发现规律:
我们考虑问题的重点是替换部分是几位的数字,与这个数是几位数字关系不大。
替换部分是三位数:替换部分可以是:000,111,222,333,444,555,666,777,888,999
原始数可能是四位数或者是五位数。
替换几个数字我们知道了
具体替换到哪几位还不知道。。。
这个时候就只能暴力了。。。
如果是五位数:
替换模型可能是:
//a是要换的 ,相同数据,b是保持不变的
String[] digits5={"baaab",
"abaab",
"aabab",
"aaabb"};
a不能在最后一位,是的话就不够8个质数了。
如果是六位数:
替换模型可能是:
String[] digits6={"bbaaab",
"babaab",
"baabab",
"baaabb",
"abbaab",
"ababab",
"abaabb",
"aabbab",
"aababb",
"aaabbb"};
下面就纯暴力破解了
根据模板产生9个数
判断这九个数中是否有8个质数
有就ok
运行输出结果:
[109, 111109, 222109, 444109, 555109, 666109, 777109, 888109]
[121313, 222323, 323333, 424343, 525353, 626363, 828383, 929393]
[40609, 141619, 242629, 343639, 444649, 646669, 747679, 949699]
[857, 111857, 222857, 333857, 555857, 666857, 777857, 888857]
输入109不对,输入121313,ok这里是要求的是数长度是6
java代码:
package projecteuler51to60; import java.util.Iterator;
import java.util.Set;
import java.util.TreeSet; class level51{
void solve0(){
//a是要换的 ,相同数据,b是保持不变的
String[] digits5={"baaab",
"abaab",
"aabab",
"aaabb"};
String[] digits6={"bbaaab",
"babaab",
"baabab",
"baaabb", "abbaab",
"ababab",
"abaabb", "aabbab",
"aababb", "aaabbb"};
TreeSet<String> ts = new TreeSet<String>(); for(int i=0;i<=9;i++){
for(int j=0;j<=9;j++){
for(int k=0;k<digits5.length;k++){
ts=Combination(i, j, 0, digits5[k], true);
if(isPrimeSet(ts))
System.out.println(i+" "+j+" "+ts+" "+digits5[k]);
} }
}
TreeSet<String> ts2 = new TreeSet<String>();
for(int i=0;i<=9;i++){
for(int j=0;j<=9;j++){
for(int m=0;m<=9;m++){
for(int k=0;k<digits6.length;k++){
ts2=Combination(i, j, m, digits6[k], false);
if(isPrimeSet(ts2)){
// System.out.println(i+" "+j+" "+ts2+" "+digits6[k]);
System.out.println(getPrimeSet(ts2));//121313 }
}
}
}
} }
TreeSet<Integer> getPrimeSet(TreeSet<String> ts){
Iterator<String> it=ts.iterator();
TreeSet<Integer> tset = new TreeSet<Integer>();
while(it.hasNext()){
int prime=Integer.parseInt(it.next());//强制类型转换
if(isPrime(prime)){
tset.add(prime);
}
} return tset; } boolean isPrimeSet(TreeSet<String> ts){
Iterator<String> it=ts.iterator();
int flag=0;
while(it.hasNext()){
int prime=Integer.parseInt(it.next());//强制类型转换
if(isPrime(prime)){
flag+=1;
}
}
if(flag>=8)
return true;
return false; } TreeSet<String> Combination(int A,int B,int C,String pattern,boolean flag){
//第一个1用a代替,第二个1以b代替,第三个1用c代替 TreeSet<String> TSet= new TreeSet<String>();
if(flag==true){// 5位数
for(int i=0;i<=9;i++){
String combStr=pattern.replaceFirst("b", A+"");
combStr=combStr.replaceFirst("b", B+"");
combStr=combStr.replace("a", i+"");
TSet.add(combStr);
}
}else if(flag==false){// 6位数
for(int i=0;i<=9;i++){
String combStr=pattern.replaceFirst("b", A+"");
combStr=combStr.replaceFirst("b", B+"");
combStr=combStr.replaceFirst("b", C+"");
combStr=combStr.replace("a", i+"");
TSet.add(combStr); }
}
return TSet;
} boolean isPrime(int num){
if(num==2||num==3 ||num==5||num==7) return true;
if(num<2 || num%2==00) return false;
for(int i=3;i<=Math.sqrt(num);i++)
if(num%i==0)
return false;
return true;
} }
public class Problem51 { public static void main(String[] args){
long begin= System.currentTimeMillis();
new level51().solve0();
long end = System.currentTimeMillis();
long Time = end - begin;
System.out.println("Time:"+Time/1000+"s"+Time%1000+"ms");
} }
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