hihoCoder #1867 GCD

在集合 $[n]$ 上使用容斥原理。

固定 $i$，考虑有多少个 $j \in [n]$ 满足 $\gcd(i, j) = \gcd(a_i, a_j) = 1$，将此数目记作 $f_i$。暂时不考虑条件 $ i \le j $ 。

考虑 $[n]$ 的某些子集。$S_{x,y} := \{ i\in [n] \colon x\mid i, y \mid a_i \}$

以 $a_6 = 4$ 为例，$6$ 的素因子有 $2, 3$，$4$ 的素因子有 $2$ 。

考虑集合 $S_{1, 2}, S_{2, 1}, S_{2, 2}, S_{3, 1}, S_{3, 2}$，对这些集合用容斥原理（即求出 $[n]$ 中【不属于这些集合中的任一集合】的元素有多少个）即可求得 $f_i$ 。

在对 $S_1, S_2, \dots, S_n$ 用容斥原理时，若 $S_i \subset S_j$（$i\ne j$）则可将 $S_i$ 去掉。

注意到 $S_{3,2}, S_{2, 2}$ 都是 $S_{1, 2}$ 的子集，所以有些子集是不用考虑的。实际上我们考虑
$S_{1, 2}, S_{2, 1}, S_{3, 1}$ 即可。

将 $i$ 的素因子个数记作 $c_i$。求解 $f_i$ 需要计算 $2^{c_i + c_{a_i} }$ 个集合的基数。

机械地采用容斥原理其实做了很多重复计算。

容斥原理涉及求一些集合的交集的基数，这些交集可表为 $S_{x, y}$ 其中 $x, y$ 都是若干个素数的乘积。

设 $A, B$ 为一些质数的集合，$p_A, p_B$ 分别为其中元素的乘积（$p_{\emptyset} = 1$）。以下也将 $S_{p_A,p_B}$ 写作 $S_{A,B}$ 。

在使用容斥原理时我们实际上是要求 $|S_{A,B}|$，注意到 $|S_{A,B}|$ 每次出现，其系数都是 $-1^{|A|+|B|}$，故我们考虑 $|S_{A,B}|$ 出现了多少次。易见，$|S_{A,B}|$ 出现在 $f_i$ 的表达式中当且 $p_A\mid i$ 且 $p_B \mid a_i$，故 $|S_{A,B}|$ 出现了 $|S_{A,B}|$ 次。因此有
\begin{equation}
\sum_i f_i = \sum_{A,B} (-1)^{|A|+|B|} |S_{A,B}|^2
\end{equation}
又
\begin{equation}
|S_{A,B}| =\sum_i [p_A|i,\,p_B|a_i] = \sum_{k} [p_B \mid a_{kp_A}]
\end{equation}
于是
\begin{equation}
\sum_i f_i = \sum_{A,B} (-1)^{|A|+|B|} \left( \sum_{k} [p_B \mid a_{kp_A}] \right)^2 \label{E:3}
\end{equation}
借助 Möbius 函数，\eqref{E:3} 可写成
\begin{equation}
\sum_i f_i = \sum_{x}\mu(x) \sum_y \mu(y) \left( \sum_{k} [y \mid a_{kx}] \right)^2
\end{equation}

计算方法：枚举 $x$，枚举 $k$，枚举 $y$（$y$ 是 $kx$ 的因子），为每个 $\mu(y)\ne 0$ 的 $y$ 维护一个计数器，并将这些 $y$ 放入一个列表。