O(1)gcd学习笔记

设最大权值为\(M\)

\(T=\sqrt M\)

定理

任意一个\(\le M\)的数一定可以表示为abc三个数的乘积

满足这三个数要么\(\le T\)，要么是一个质数

证明：

考虑反证

假设\(a>b>c\)，满足\(a>T\)且\(a\)不为素数

因为\(a>T\)且\(abc\le M\)，则有\(bc\le T\)

我们设\(a=x*y\),一定不可能x,y均\(\ge T\)

假设\(x>y\),则\(y \le T\)

则原数可表示为\(x,y,bc\)三数乘积

若此时x仍不满足两条件之一，继续分解，最后定能满足

预处理O(n)

1. 线性筛，求出每个数的最小质因子

2. 预处理每个数能分解成哪三个数
   
   对于x,其最小质因数为p
   
   则x的分解先复制\(x/p\)的分解
   
   设为a,b,c
   
   若\(a*p\le T\)则\(a*=p\)
   
   若\(b*p\le T\)则\(b*=p\)
   
   否则\(c*=p\)
   
   正确性证明：
   
   不难发现若\(p\ge T\)则x为素数且x=p
   
   而对于x为素数的,\(x/p=1\)显然正确，不用考虑
   
   那么此时\(p\le T\)
   
   若a,b,c其一为1,显然正确，不用考虑
   
   此时有\(a*p,b*p,c*p\)均为合数
   
   所以：现在要证明的是\(a,b,c\)中至少有一个数乘\(p\)后\(\le T\)
   
   就是证明\(a,b,c\)中不会出现每一个数乘\(p\)都\(\ge T\)
   
   反证：
   
   根据条件有\(a,b,c>\frac T p\)
   
   设\(x/p\)的最小质因数为w，则\(w\ge p\)
   
   依此类推\(a,b,c\ge p\)
   
   ①\(p< \sqrt T\)，此时\(a,b,c>\sqrt T\)
   
   \(pabc>\frac {T^3} {p^2}>{T^2}=M\)
   
   说明原数在权值范围M之外，矛盾
   
   ②\(p\ge \sqrt T\)，
   
   此时\(pabc>p^4>T^2=M\)

3. 预处理T以内两两数的gcd
   
   可以递推,像辗转相除,g[x][y]=g[y][x%y]

Code

void init_gcd(){
	notprime[1]=1;
	int i,j,d;
	for(i=2;i<N;i++){
		if(!notprime[i]){
			prime[++cnt]=i;
			p[i]=i;
		}
		for(j=1;j<=cnt;j++){
			if((LL)prime[j]*i>=N) break;
			d=prime[j]*i;
			notprime[d]=1;
			p[d]=prime[j];
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}

	split[1][0]=split[1][1]=split[1][2]=1;
	for(i=2;i<N;i++){
		memcpy(split[i],split[i/p[i]],sizeof(split[i/p[i]]));
		if(split[i][0]*p[i]<=sn) split[i][0]*=p[i];
		else if(split[i][1]*p[i]<=sn) split[i][1]*=p[i];
		else split[i][2]*=p[i];
	}

	// gcd(0,0)=0 , gcd(0,x)=x
	for(i=0;i<=sn;i++)
	for(j=0;j<=i;j++){
		if(!i||!j) g[i][j]=i|j;
		else g[i][j]=g[j][i]=g[j][i%j];//j<=i
	}
}

求两数gcd O(1)

int gcd(int x,int y){
	int ans=1,i,d;
	for(i=0;i<3;i++){
		if(split[x][i]<=sn) d=g[split[x][i]][y%split[x][i]];
		else d=(y%split[x][i]==0)?split[x][i]:1;
		ans*=d;
		y/=d;//避免算重
	}
	return ans;
}