求两点之间最短路径-Dijkstra算法

 Dijkstra算法

1.定义概览

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。

问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）

2.算法描述

1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。

2)算法步骤：

a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则<u,v>正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则<u,v>权值为∞。

b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。

c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。

d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。

执行动画如下图(图片来自网络)：

算法实现如下：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
 
namespace Dijkstra算法
{
   class Program
   {
      static int length = ;
      static string[] shortedPath = new string[length];
      static int noPath = ;
      static int MaxSize = ;
      static int[,] G =
      {
         { noPath, noPath, , noPath, ,  },
         { noPath, noPath, , noPath, noPath, noPath },
         { noPath, noPath, noPath, , noPath, noPath },
         { noPath, noPath, noPath, noPath, noPath,  },
         { noPath, noPath, noPath, , noPath,  },
         { noPath, noPath, noPath, noPath, noPath, noPath }
      };
      static string[] PathResult = new string[length];
 
      static int[] path1 = new int[length];
      static int[,] path2 = new int[length, length];
      static int[] distance2 = new int[length];
 
      static void Main(string[] args)
      {
         int dist1 = getShortedPath(G, , , path1);
         Console.WriteLine("Node 0 To 5:");
         for (int i = ; i < path1.Length; i++)
            Console.Write(path1[i].ToString() + " ");
         Console.WriteLine("Length:" + dist1);
 
         int[] pathdist = getShortedPath(G, , path2);
         Console.WriteLine("\nNode 0 To other:");
         for (int j = ; j < pathdist.Length; j++)
         {
            Console.WriteLine("Node 0 to " + j + " path:");
            for (int i = ; i < length; i++)
            {
               Console.Write(path2[j, i].ToString() + " ");
            }
            Console.WriteLine("length:" + pathdist[j]);
         }
         Console.ReadKey();
      }
 
      //从某一源点出发，找到到某一结点的最短路径
      static int getShortedPath(int[,] G, int start, int end, int[] path)
      {
         bool[] s = new bool[length]; //表示找到起始结点与当前结点间的最短路径
         int min;  //最小距离临时变量
         int curNode = ; //临时结点，记录当前正计算结点
         int[] dist = new int[length];
         int[] prev = new int[length];
 
         //初始结点信息
         for (int v = ; v < length; v++)
         {
            s[v] = false;
            dist[v] = G[start, v];
            if (dist[v] > MaxSize)
               prev[v] = ;
            else
               prev[v] = start;
         }
         path[] = end;
         dist[start] = ;
         s[start] = true;
         //主循环
         for (int i = ; i < length; i++)
         {
            min = MaxSize;
            for (int w = ; w < length; w++)
            {
               if (!s[w] && dist[w] < min)
               {
                  curNode = w;
                  min = dist[w];
               }
            }
 
            s[curNode] = true;
 
            for (int j = ; j < length; j++)
               if (!s[j] && min + G[curNode, j] < dist[j])
               {
                  dist[j] = min + G[curNode, j];
                  prev[j] = curNode;
               }
 
         }
         //输出路径结点
         int e = end, step = ;
         while (e != start)
         {
            step++;
            path[step] = prev[e];
            e = prev[e];
         }
         for (int i = step; i > step / ; i--)
         {
            int temp = path[step - i];
            path[step - i] = path[i];
            path[i] = temp;
         }
         return dist[end];
      }
 
      //从某一源点出发，找到到所有结点的最短路径
      static int[] getShortedPath(int[,] G, int start, int[,] path)
      {
         int[] PathID = new int[length];//路径（用编号表示）
         bool[] s = new bool[length]; //表示找到起始结点与当前结点间的最短路径
         int min;  //最小距离临时变量
         int curNode = ; //临时结点，记录当前正计算结点
         int[] dist = new int[length];
         int[] prev = new int[length];
         //初始结点信息
 
         for (int v = ; v < length; v++)
         {
            s[v] = false;
            dist[v] = G[start, v];
            if (dist[v] > MaxSize)
               prev[v] = ;
            else
               prev[v] = start;
            path[v, ] = v;
         }
 
         dist[start] = ;
         s[start] = true;
         //主循环
         for (int i = ; i < length; i++)
         {
            min = MaxSize;
            for (int w = ; w < length; w++)
            {
               if (!s[w] && dist[w] < min)
               {
                  curNode = w;
                  min = dist[w];
               }
            }
 
            s[curNode] = true;
 
            for (int j = ; j < length; j++)
            {
               if (!s[j] && min + G[curNode, j] < dist[j])
               {
                  dist[j] = min + G[curNode, j];
                  prev[j] = curNode;
               }
            }
         }
         //输出路径结点
         for (int k = ; k < length; k++)
         {
            int e = k, step = ;
            while (e != start)
            {
               step++;
               path[k, step] = prev[e];
               e = prev[e];
            }
            for (int i = step; i > step / ; i--)
            {
               int temp = path[k, step - i];
               path[k, step - i] = path[k, i];
               path[k, i] = temp;
            }
         }
         return dist;
 
      }
   }
}