Codeforces 868F Yet Another Minimization Problem（分治+莫队优化DP）

题目链接  Yet Another Minimization Problem

题意  给定一个序列，现在要把这个序列分成k个连续的连续子序列。求每个连续子序列价值和的最小值。

设$f[i][j]$为前$i$个数分成$j$段的最优解

不难得出状态转移方程$f[i][j] = min(f[k][j - 1], calc(j + i, i))$

该DP具有决策单调性

即若$f[i][j]$是从$f[x][j - 1]$转移到的，$f[i+1][j]$是从$f[y][j - 1]$转移到的，那么一定有$x <= y$。

考虑到这一点就可以用分治优化。

还有一点就是$calc()$的计算。

用莫队计算就可以了（分治的时候同一个递归状态下莫队查询端点的改变都是连续的）

时间复杂度$O(nklogn)$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define rep(i, a, b)	for (int i(a); i <= (b); ++i)
#define dec(i, a, b)	for (int i(a); i >= (b); --i)

typedef long long LL;

const int N = 1e5 + 10;
const int A = 22;

LL f[N][A], ret;
int a[N], cnt[N];
int n, m, l, r;

void query_init(){
	memset(cnt, 0, sizeof cnt);
	l = 1, r = 0;
	ret = 0;
}

LL query(int ql, int qr){
	while (r < qr){
		++r;
		ret += 1ll * cnt[a[r]];
		++cnt[a[r]];
	}

	while (r > qr){
		--cnt[a[r]];
		ret -= 1ll * cnt[a[r]];
		--r;
	}

	while (l > ql){
		--l;
		ret += 1ll * cnt[a[l]];
		++cnt[a[l]];
	}

	while (l < ql){
		--cnt[a[l]];
		ret -= 1ll * cnt[a[l]];
		++l;
	}

	return ret;
}

void solve(int j, int l, int r, int st, int ed){
	if (l > r) return;
	int mid = (l + r) >> 1;
	int x;

	rep(i, st, min(mid, ed)){
		LL now = query(i, mid);
		if (f[i - 1][j - 1] + now <= f[mid][j]){
			f[mid][j] = f[i - 1][j - 1] + now;
			x = i;
		}
	}

	if (l != r){
		solve(j, l, mid - 1, st, x);
		solve(j, mid + 1, r, x, ed);
	}
}

int main(){

	scanf("%d%d", &n, &m);
	rep(i, 1, n) scanf("%d", a + i);

	query_init();

	rep(i, 1, n) rep(j, 0, m) f[i][j] = 1e18;
	rep(i, 1, n) f[i][1] = query(1, i);
	rep(j, 2, m) solve(j, 1, n, 1, n);

	printf("%lld\n", f[n][m]);
	return 0;
}