「HNOI2008」「LuoguP3197」越狱（数论

题目描述

原题来自：HNOI 2008

监狱有连续编号为 111 到 nnn 的 nnn 个房间，每个房间关押一个犯人。有 mmm 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。求有多少种状态可能发生越狱。

输入格式

输入两个整数 mmm 和 nnn。

输出格式

可能越狱的状态数，对 100003100003100003 取余。

样例

样例输入

2 3

样例输出

6

样例说明

所有可能的 666 种状态为：{0,0,0},{0,0,1},{0,1,1},{1,0,0},{1,1,0},{1,1,1}\{0,0,0\},\{0,0,1\},\{0,1,1\},\{1,0,0\},\{1,1,0\},\{1,1,1\}{0,0,0},{0,0,1},{0,1,1},{1,0,0},{1,1,0},{1,1,1}。

数据范围与提示

对于全部数据，1≤m≤108,1≤n≤10121\le m\le 10^8,1\le n\le 10^{12}1≤m≤10​8​​,1≤n≤10​12​​。

题解

这还能绿？！

正难则反，考虑不能越狱的情况，转化成线上的地图染色问题，方案为$m*\underbrace{(m-1)*(m-1)*...*(m-1)}_{(n-1)个}$，设为$res$。

然后所有可能为$m^n$。

所以答案就是$m^n-res$。

 /*
  qwerta
 P3197 [HNOI2008]越狱 Accepted
 100
 代码 C++，0.38KB
 提交时间 2018-10-23 17:02:41
 耗时/内存 25ms, 804KB
 */
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 #define LL long long
 const int mod=;
 LL pown(LL q,LL w)
 {
     LL ans=,base=q;
     LL k=w;
     while(k)
     {
         if(k&)
         ans=ans*base%mod;
         base=base*base%mod;
         k>>=;
     }
     return ans;
 }
 int main()
 {
     int m;
     cin>>m;
     LL n;
     cin>>n;
     LL res=m*pown(m-,n-)%mod;
     LL al=pown(m,n)%mod;
     LL ans=(al-res+mod)%mod;
     cout<<ans;
     return ;
 }