Codeforces 1499G - Graph Coloring（带权并查集+欧拉回路）

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一道非常神仙的题 %%%%%%%%%%%%

首先看到这样的设问，做题数量多一点的同学不难想到这个题。事实上对于此题而言，题面中那个“Classical and Easy”的问题就是那题的弱化版，具体来说，借鉴那题的思路，我们考虑建立一个虚点 \(V\)​，然后对于所有度为奇数的点 \(x\)，我们连一条 \(x\) 与 \(V\) 之间的双向边，然后跑欧拉回路。对于每一条原二分图中的边，假设其左部点为 \(x\)，右部点为 \(y\)，那么如果边 \((x,y)\) 在欧拉回路上的方向为 \(x\to y\) 那么我们给这条边染蓝，否则我们给这条边染红，不难发现这样每个点的 \(|r(x)-b(x)|\) 之和达到了理论下界，也就是 \(\sum\limits_{x}[deg_x\text{ is odd}]\)。

然后我就企图直接对着这个版本解决此题，想着怎么用 set 维护每一个环，怎么启发式合并，然后发现复杂度爆炸，心态也随之爆炸……

事实上，对于此题多组询问的版本而言，如果直接这么做那么会牵扯到虚点加边删边的问题，会导致问题变得异常麻烦。因此考虑怎样不建虚点来解决这个问题，显然对于原来包含虚点的图而言，如果我们在遍历包含虚点的连通块遍历到了一个包含虚点的环 \(V\to v_1\to v_2\to\cdots\to v_k\to V\)​，那么如果我们把 \(V\)​ 删掉，那就会得到一个欧拉路径，因此如果我们不建虚点，那么问题即可以转化为，要找到 \(C=\sum\limits_{x}[deg_x\text{ is odd}]\)​ 个欧拉路径与一些环，并将这些路径与环上的边定向。

考虑怎么维护这些环，不难发现我们加入一条边时，如果存在某两条路径分别以这条边的两个端点为端点，那么我们就要将这两条路径并起来。看到这个“并”，我们可以很自然地想到并查集维护每条路径中边的集合。不过注意到这里涉及到路径的定向问题，因此我们不能使用普通的并查集——我们需要带权并查集。具体来说，对于一条边我们记其为 \(0\) 表示这条边方向是由左部点连到右部点，\(1\) 则反过来。那么当我们加入一条边 \((x,y)\) 时：

• 如果 \(x,y\) 都不是某条边的端点，那么我们就令新加入的这条边单独成一个集合，权值 \(0/1\) 皆可。
• 如果 \(x,y\) 中恰好有一个是某条边的端点，不妨设 \(x\) 是某条边的端点，如果与 \(x\) 相连的路径上的边的权值为 \(1\)，那么令新加入的这条边的权值为 \(0\)，否则令新加入的边的权值为 \(1\)，然后将两个集合并起来即可。
• 如果 \(x,y\) 都是某条边的端点，这种 case 稍微有点麻烦。如果与 \(x,y\) 直接相连的两条边的权值相同，那么我们就令 \((x,y)\) 的权值为与 \(x\) 相连的边的权值异或一，然后将三个集合并起来。否则我们就将 \(y\) 所在路径中所有边的权值 flip 一下，然后还是令 \((x,y)\) 权值为与 \(x\) 相连的边的权值异或一，将三个集合并起来即可。

u1s1 在做这道题之前我甚至还不会带权并查集（主要是当时 2 years ago 没认真学，大概老师讲这东西的时候我在打游戏），主要思想大概就对于一个并查集，我们定义 \(x\) 点的权值为 \(w_x\)，那么我们不维护 \(w_x\)，instead 我们维护一个 \(w’_x\)，满足 \(w_x\) 等于 \(x\) 到根节点路径上所有点的 \(w’\) 的和（或异或和、或 \(\min\)，取决于你定义了啥运算），那么在路径压缩的时候，我们考虑先遍历其父亲 \(f\)，那么在遍历完父亲之后，父亲的 \(w’\) 值就是父亲真正的的 \(w\) 值减去根节点的 \(w\) 值，那么我们就直接令 \(x\) 的父亲为根节点，然后令 \(x\) 的 \(w’\) 值为父亲此时的 \(w’\) 值加上 \(x\) 原来的 \(w’\) 值即可，这样查询一个点真正的 \(w\) 值就可以拿 \(x\) 在路径压缩后的 \(w’\) 与根节点的 \(w\) 相加，将一个连通块中所有点的权值加上（或异或上）某个数 \(x\) 就直接令该连通块根节点的权值加上（或异或上）\(x\) 即可，这个异常好懂（

时间复杂度 \(\mathcal O((n+q)\log n)\)。

const int MAXN=4e5;
const int MOD=998244353;
int n1,n2,m,mm,pw2[MAXN+5],tag[MAXN+5],f[MAXN+5],res=0,sum[MAXN+5][2];
int find(int x){
	if(!f[x]) return x;if(!f[f[x]]) return f[x];
	int fx=find(f[x]);tag[x]^=tag[f[x]];return f[x]=fx;
}
bool ask(int x){if(!f[x]) return tag[x];int fx=find(x);/*printf("%d %d\n",tag[fx],tag[x]);*/return tag[fx]^tag[x];}
void rev(int x){
//	printf("reverse %d\n",x);
	x=find(x);res=(res-sum[x][tag[x]]+MOD)%MOD;
	tag[x]^=1;res=(res+sum[x][tag[x]])%MOD;
}
void merge(int x,int y){
	x=find(x);y=find(y);if(x==y) return;f[x]=y;
//	printf("merge %d %d\n",x,y);
	res=(res-sum[x][tag[x]]+MOD)%MOD;res=(res-sum[y][tag[y]]+MOD)%MOD;
	sum[y][tag[y]]=(sum[y][tag[y]]+sum[x][tag[x]])%MOD;
	sum[y][tag[y]^1]=(sum[y][tag[y]^1]+sum[x][tag[x]^1])%MOD;
	tag[x]^=tag[y];res=(res+sum[y][tag[y]])%MOD;
}
int con[MAXN+5];
void dealins(int x,int y){
	int id=++mm;sum[id][0]=pw2[id];res=(res+pw2[id])%MOD;
	if(!con[x]&&!con[y]) return con[x]=con[y]=id,void();
//	printf("ins %d %d\n",x,y);
	if(!con[x]) swap(x,y);
	if(!con[y]){
//		printf("%d %d\n",x,y);
		if(!ask(con[x])) rev(id);//printf("%d\n",res);
		merge(id,con[x]);con[x]=0;con[y]=id;
	} else {
		if(ask(con[x])!=ask(con[y])) rev(con[y]);
		if(!ask(con[x])) rev(id);
		merge(id,con[x]);merge(id,con[y]);con[x]=con[y]=0;
	}
}
void prt_color(){
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=mm;i++) if(!ask(i)) cnt++;
	printf("%d\n",cnt);
	for(int i=1;i<=mm;i++) if(!ask(i)) printf("%d ",i);
	printf("\n");
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n1,&n2,&m);
	pw2[0]=1;for(int i=1;i<=MAXN;i++) pw2[i]=(pw2[i-1]<<1)%MOD;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++) scanf("%d%d",&u,&v),dealins(u,v+n1);
	int qu;scanf("%d",&qu);
	while(qu--){
		int opt;scanf("%d",&opt);
		if(opt==1){
			int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
			dealins(u,v+n1);printf("%d\n",res);
		} else prt_color();
		fflush(stdout);
	}
	return 0;
}
/*
2 2 2
1 1
2 2
2
1 1 2
2
*/