Probabilistic SVM 与 Kernel Logistic Regression（KLR）

本篇讲的是SVM与logistic regression的关系。

（一） SVM算法概论

首先我们从头梳理一下SVM（一般情况下，SVM指的是soft-margin SVM）这个算法。

这个算法要实现的最优化目标是什么？我们知道这个目标必然与error measurement有关。

那么，在SVM中，何如衡量error的？也即：在SVM中ε具体代表着什么？

SVM的目标是最小化上式。我们用来衡量error。这个式子是不是有点眼熟？我们在regularzation一篇中，最小化的目标也是如此形式。但是两者的思路不同：对于regularization，我们的目标是最小化error，但是呢，我们也希望对|w|的长度有限制；

对于SVM，我们的目标是最小化|w|，但是呢，我们也希望对error有所限制。

具体哪一方面占的权重更大，对于regularization来说，可以用λ来调节；对于SVM来说，可以用C来调节。

总体来说，殊途同归，但是使用SVM方法，即使是如上的nonlinear error衡量方式，我们也可以用QP工具来解决；第二，我们可以使用kernel function工具。

具体来说其误差衡量方式与0/1 error相比：

我们发现：这种误差衡量方式也是0/1误差的一种upper bound。之前我们在哪里见识过类似的场景？squared error 和cross-entropy error。

我们可以看到：SVM的错误衡量方式与cross-entropy error的值相似。所以我们说 SVM ≈ L2-regularized logistic regression。

（二）probabilistic SVM

如何融合SVM和logistic regression？

我也不知道为什么要将SVM与logistic regression联系起来。logistic regression与SVM相比，有什么优点？是极大似然？直接使用SVM不好吗？

这两种方法都不好，没有吸收两种方法的好处。

（三）kernel logistic regression

假设我们融合logistic regression与SVM，主要是要在logistic regression中使用SVM的kernel function工具。那么，现在的问题是：能不能直接做kernel logistic regression？

首先明白一点：要想使用kernel trick，必然有：w可以由n个数据来表示。也即：optimal w can be represented by z_n。

什么使用这一情况会得到满足？

由此，我们可以做kernel logistic regression：