[Codeforces 100633J]Ceizenpok’s formula

Description

求 \[C_n^m \mod p\]

\(1\leq m\leq n\leq 10^{18},2\leq p\leq 1000000\)

Solution

一般的 \(Lucas\) 是在模数 \(p\) 是质数的条件下适用的。我们来考虑 \(p\) 不是质数的条件。

我们对 \(p\) 进行唯一分解，记 \(p=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_q^{k_q}\) ，由于形同 \(p_i^{k_i}\) 的部分是互质的，显然我们可以用 \(CRT\) 合并。

列出方程组： \[\left\{ \begin{array}{c} ans\equiv c_1\pmod {{p_1}^{k_1}}\\ ans\equiv c_2\pmod {{p_2}^{k_2}}\\ ...\\ ans\equiv c_q\pmod {{p_q}^{k_q}}\\ \end{array} \right.\] ，对于每个 \(c_i\) ，表示 \(C_n^m\) 在 \(\mod p_i^{k_i}\) 下的结果。由解的唯一性，我们可以证明这个 \(ans\) 就是我们要求的。
根据 \(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\) 我们只要求出 \(n!\mod p_i^{k_i},m!\mod p_i^{k_i},(n-m)!\mod p_i^{k_i}\) ，再用逆元的那套理论就可以求 \(c_i\) 了。

考虑如何求 \(n!\mod p_i^{k_i}\) 。容易发现 \(n!=\left(\prod\limits_{j=1}^n j^{[p_i\nmid j]}\right)\cdot\left(p_i^{\left\lfloor\frac{n}{p_i}\right\rfloor}\right)\cdot\left(\left\lfloor\frac{n}{p_i}\right\rfloor\large! \right)\) 上述式子分为三个部分，第一个部分显然在模 \(p_i^{k_i}\) 下，是以 \(p_i^{k_i}\) 为周期的。可以周期内找循环节算，周期外的暴力算；第二部分可以直接算；第三部分可以递归求解。

另外注意的是求组合逆元的时候，存在阶乘中的某一个数可能还有 \(p_i\) 这个质因子，不能直接算。直接把 \(p_i\) 全部提出来，最后求完逆元后再补回去。求 \(n!\) 内质因子 \(p\) 的个数可以用 \(\sum\limits_{i=1}^{+\infty} \left\lfloor\frac{n}{p^i}\right\rfloor\) 来求。

Code

//It is made by Awson on 2018.2.10

#include <bits/stdc++.h>

#define LL long long

#define dob complex<double>

#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))

#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))

#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))

#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))

using namespace std;

void read(LL &x) {

    char ch; bool flag = 0;

    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());

    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());

    x *= 1-2*flag;

}

void print(LL x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); }

void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); }

LL n, m, p;

LL quick_pow(LL a, LL b, LL p) {

    LL ans = 1;

    while (b) {

    if (b&1) ans = ans*a%p;

    b >>= 1, a = a*a%p;

    }

    return ans;

}

void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {

    if (b == 0) {x = 1, y = 0; return; }

    ex_gcd(b, a%b, x, y);

    LL t = x; x = y, y = t-a/b*y;

}

LL inv(LL a, LL p) {

    LL x, y; ex_gcd(a, p, x, y);

    return (x%p+p)%p;

}

LL mul(LL n, LL pi, LL pk) {

    if (!n) return 1;

    LL ans = 1;

    for (int i = 2; i <= pk; i++) if (i%pi != 0) ans = ans*i%pk;

    ans = quick_pow(ans, n/pk, pk);

    for (int i = 2; i <= n%pk; i++) if (i%pi != 0) ans = ans*i%pk;

    return ans*mul(n/pi, pi, pk)%pk;

}

LL C(LL n, LL m, LL pi, LL pk, LL p) {

    LL a = mul(n, pi, pk), b = mul(m, pi, pk), c = mul(n-m, pi, pk);

    LL k = 0;

    for (LL i = n; i; i /= pi) k += i/pi;

    for (LL i = m; i; i /= pi) k -= i/pi;

    for (LL i = n-m; i; i /= pi) k -= i/pi;

    return a*inv(b, pk)%pk*inv(c, pk)%pk*quick_pow(pi, k, pk)%pk;

}

LL ex_lucas(LL n, LL m, LL p) {

    LL ans = 0;

    for (LL i = 2, x = p; i <= x; i++)

    if (x%i == 0) {

        LL k = 1; while (x%i == 0) k *= i, x /= i;

        (ans += C(n, m, i, k, p)*(p/k)%p*inv(p/k, k)%p) %= p;

    }

    return ans;

}

void work() {

    read(n), read(m), read(p);

    writeln(ex_lucas(n, m, p));

}

int main() {

    work();

    return 0;

}