BZOJ1492 货币兑换 CDQ分治优化DP
1492: [NOI2007]货币兑换Cash
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Description
.png)
.png)
Input
对于40%的测试数据,满足N ≤10;
对于60%的测试数据,满足N ≤1 000;
对于100%的测试数据,满足N ≤100 000;
Output
只有一个实数MaxProfit,表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。
Sample Input
1 1 1
1 2 2
2 2 3
Sample Output
HINT
(转载请注明原文地址:http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/8028556.html )
终于把CDQ维护凸壳学了……
那么既然题目已经给提示2了,我们就可以针对性的设$f[i]$为第i天获得的最多A券数,$ans[i]$为第i天的最大获利,那么我们要求的就是ans[n]了。
这个dp显然是可以$O(n^{2})$解决的……但是这样拿不了后面的分数。
然后你就想啊,肯定要优化啊……然后你就可以化出一个斜率的式子来。
对于$ans[i]$的决策,我们设两天j和k,j比k优秀的话,就会有
$(f[j]-f[k])*a[i]+(f[j]/rate[j]-f[k]/rate[k])*b[i]>0$
再设$g[i]=f[i]/rate[i]$(也就是第i天获得的最多B券数),为了处理不等式的符号我们设$f[j]<f[k]$
所以有:
$(g[j]-g[k])*b[i]>-(f[j]-f[k])*a[i]$
$(g[j]-g[k])/(f[j]-f[k])<-a[i]/b[i]$
(当然,实际情况是有$f[j]==f[k]$,即斜率不存在的情况存在的,到时候还要讨论。)
那么我们转化到一些坐标为(f[i],g[i])的二维平面的点上来。
我们建立一个这些点的上凸壳,然后在凸壳上二分最靠左的最后一个满足$k(point(x),point(x+1))<-a[i]/b[i]$的点x,
那么$x+1$就是最优秀的取值,也即本次决策点。
但是你发现这个f[i]不随i单调……那么我们考虑splay或者CDQ
打个J的splay啊
那么我们CDQ维护凸壳并且决策就好了……
具体实现是让$f[i]$有序之后按照正常方法建凸壳,然后让$-a[i]/b[i]$有序(我是从大到小排序),单调扫一边完成决策。
怎么让这俩有序呢……一是大力sort,复杂度$O(nlog^{2}n)$,一是归并排序,复杂度$O(nlogn)$
两种方法我都打了一下……感觉少个$logn$没快到哪去,也没长到哪去……
如果复杂度可行还是打$log^{2}$吧……
两份代码:
- #include <cstdio>
- #include <cstring>
- #include <algorithm>
- using namespace std;
- #define eps 1e-8
- #define N 100010
- #define db double
- #define inf 0x7fffffff
- #define sign(a) (((a)>-eps)-((a)<eps))
- int n,top,sta[N],id[N],tmp[N],idk[N],tmpk[N],match[N];
- db ans[N],ak[N],bk[N],rate[N],f[N],g[N];
- inline db max(db a,db b){return a>b?a:b;}
- inline bool comp(const int &a,const int &b)
- {return f[a]<f[b] || ( sign(f[a]-f[b])==&&g[a]<g[b] );}
- inline double k(int a,int b)
- {
- if(sign(f[a]-f[b])==)return sign(g[a]-g[b])*inf;
- return (g[a]-g[b])/(f[a]-f[b]);
- }
- inline bool compk(const int &a,const int &b)
- {return sign( (-ak[a]/bk[a]) - (-ak[b]/bk[b]) ) > ;}
- inline void CDQ(int l,int r)
- {
- if(l==r){g[l]=f[l]/rate[l];return;}
- register int hd1,i,t,mi=l+r>>,p=l-,q=mi,h=l-;
- for(i=l;i<=r;++i)
- if(match[idk[i]]<=mi)tmpk[++p]=idk[i];
- else tmpk[++q]=idk[i];
- for(i=l;i<=r;++i)idk[i]=tmpk[i];
- CDQ(l,mi);
- for(top=,i=l;i<=mi;++i)
- {
- while(top> && k(sta[top-],sta[top]) < k(sta[top],id[i]) )--top;
- sta[++top]=id[i];
- }
- for(hd1=,i=mi+;i<=r;++i)
- {
- t=match[idk[i]];
- while( hd1<top&&sign( k(sta[hd1],sta[hd1+]) - (-ak[t]/bk[t]) ) >= )++hd1;
- ans[t]=max(ans[t],f[sta[hd1]]*ak[t]+g[sta[hd1]]*bk[t]);
- }
- for(i=mi+;i<=r;++i)
- t=match[idk[i]],ans[t]=max(ans[t],ans[t-]),f[t]=ans[t]*rate[t]/(ak[t]*rate[t]+bk[t]);
- CDQ(mi+,r);
- p=l,q=mi+,h=l;
- while(p<=mi&&q<=r)
- if(comp(id[p],id[q]))tmp[h++]=id[p++];
- else tmp[h++]=id[q++];
- while(p<=mi)tmp[h++]=id[p++];
- while(q<=r)tmp[h++]=id[q++];
- for(i=l;i<=r;++i)id[i]=tmp[i];
- }
- int main()
- {
- register int i,j;
- scanf("%d%lf",&n,&ans[]);
- for(i=;i<=n;++i)
- scanf("%lf%lf%lf",&ak[i],&bk[i],&rate[i]);
- f[]=ans[]*rate[]/(ak[]*rate[]+bk[]);
- for(i=;i<=n;++i)id[i]=idk[i]=match[i]=i;
- sort(match+,match+n+,compk);
- CDQ(,n);
- printf("%.3f\n",ans[n]);
- }
nlogn
- #include <cstdio>
- #include <cstring>
- #include <algorithm>
- using namespace std;
- #define eps 1e-8
- #define N 100010
- #define db double
- #define inf 0x7fffffff
- #define sign(a) (((a)>-eps)-((a)<eps))
- int n;
- db ans[N],ak[N],bk[N],rate[N],f[N],g[N];
- inline db max(db a,db b){return a>b?a:b;}
- int top,sta[N];
- int id[N],tmp[N],idk[N];
- inline bool comp(const int &a,const int &b)
- {
- return f[a]<f[b] || ( sign(f[a]-f[b])==&&g[a]<g[b] );
- }
- inline double k(int a,int b)
- {
- if(sign(f[a]-f[b])==)
- return sign(g[a]-g[b])*inf;
- return (g[a]-g[b])/(f[a]-f[b]);
- }
- inline bool compk(const int &a,const int &b)
- {
- return sign( (-ak[a]/bk[a]) - (-ak[b]/bk[b]) ) > ;
- }
- inline void CDQ(int l,int r)
- {
- if(l==r){g[l]=f[l]/rate[l];return;}
- register int hd1,i,mi=l+r>>;
- CDQ(l,mi);
- for(i=mi+;i<=r;++i)id[i]=i;sort(id+l,id+mi+,comp);
- for(i=mi+;i<=r;++i)idk[i]=i;sort(idk+mi+,idk+r+,compk);
- for(top=,i=l;i<=mi;++i)
- {
- while(top> && k(sta[top-],sta[top]) < k(sta[top],id[i]) )--top;//****
- sta[++top]=id[i];
- }
- for(hd1=,i=mi+;i<=r;++i)
- {
- while( hd1<top&&sign( k(sta[hd1],sta[hd1+]) - (-ak[idk[i]]/bk[idk[i]]) ) >= )++hd1;
- ans[idk[i]]=max(ans[idk[i]],f[sta[hd1]]*ak[idk[i]]+g[sta[hd1]]*bk[idk[i]]);
- }
- for(i=mi+;i<=r;++i)
- ans[i]=max(ans[i],ans[i-]),f[i]=ans[i]*rate[i]/(ak[i]*rate[i]+bk[i]);
- CDQ(mi+,r);
- }
- int main()
- {
- register int i,j;
- scanf("%d%lf",&n,&ans[]);
- for(i=;i<=n;++i)
- scanf("%lf%lf%lf",&ak[i],&bk[i],&rate[i]);
- f[]=ans[]*rate[]/(ak[]*rate[]+bk[]);
- for(i=;i<=n;++i)id[i]=i;
- CDQ(,n);
- printf("%.3f\n",ans[n]);
- }
nlog^2n
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