RSA算法原理——（2）RSA简介及基础数论知识

上期为大家介绍了目前常见加密算法，相信阅读过的同学们对目前的加密算法也算是有了一个大概的了解。如果你对这些解密算法概念及特点还不是很清晰的话，昌昌非常推荐大家可以看看HTTPS的加密通信原理，因为HTTPS加密通信使用了目前主要的三种加密算法，大家可以从中体会到各种加密算法的优缺点。

一、目前常见加密算法简介

二、RSA算法介绍及数论知识介绍

三、RSA加解密过程及公式论证

二、RSA算法介绍及数论知识介绍

如果上期（目前常见加密算法简介）算是天安门前的话，那今天的内容就算是正式通过天安门进入故宫了。

1.RSA算法介绍

对于大多数IT从业者来说RSA算法并不陌生，因为我们多多少少都使用过。而对于非IT从业者来说或许你们知道有加密算法，但是具体的哪种算法可能并不了解，其实对所有人来说都接触过RSA算法，只是你并不知道而已for example：你百度一下或者扫一扫、信用卡付款等这些过程都使用到了RSA加密算法。就目前安全通信来讲，RSA无处不在。

那RSA加密算法究竟是怎么来的呢？

RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。——维基百科

2.数论知识介绍

其实RSA算法加解密其实就是两个公式，只是为了理解这两个公式我们需要学习数论中的四个概念：互质、欧拉函数、欧拉定理、模反元素，这四个概念都是非常好理解的，不需要有数论的基础，只需要有初高中的数学就够用就能理解，下面我们就来看看这四个概念是什么？

（1）互质关系

如果两个正整数，除了1以外没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系（coprime）。比如，6和21他们的公因子有：3和1，所以6和21就不是互质；而10和21只有一个公因子1，所以它们是互质关系。这说明，不是质数也可以构成互质关系。

有以下几点可构成互质关系：

1. 任意两个质数构成互质关系，比如13和61
2. 1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99
3. p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56
4. p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15
5. 如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和10
6. 一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10

（2）欧拉函数

思考：请问10以内的正整数有哪几个与10互质呢？

答案是：{1，3，7，9}，10以内可能用手指就可以算过来，那100呢？1000呢？那是不是有什么公式可以计算？答案是有，这就是我们这里要讲的的欧拉函数：

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到10之中，与10形成互质关系的是1、3、7、9，所以 φ(10) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。对于下面的公式大家稍微记住就行，没必要理解通透，有时候适当的囫囵吞枣能让你学习的更快！

第一种情况

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系

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第二种情况

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

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第三种情况

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则



比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

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第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积，

n = p1 × p2

则

φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24

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第五种情况

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。



根据第4条的结论，得到



再根据第3条的结论，得到



也就等于



这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：

（3）欧拉定理

欧拉函数的用处，在于欧拉定理。”欧拉定理”指的是：

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：

也就是说，a的φ(n)次方被n除的余数为1。或者说，a的φ(n)次方减去1，可以被n整除。比如，3和7互质，而7的欧拉函数φ(7)等于6，所以3的6次方（729）减去1，可以被7整除（728/7=104）。

科普：mod为取模，取模运算与取余运算还是有区别。取余的商是靠近0的，而取模的商是靠近负无穷的，看下面的例子：

7 mod 4 = 3（商 = 1 或 2，1<2，取商=1，与取余相同）

-7 mod 4 = 1（商 = -1 或 -2，-2<-1，取商=-2）

7 mod -4 = -1（商 = -1或-2，-2<-1，取商=-2）

-7 mod -4 = -3（商 = 1或2，1<2，取商=1，与取余相同）

欧拉定理的证明比较复杂，这里就省略了。我们只要记住它的结论就行了。

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，

这

因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来。

欧拉定理是RSA算法的核心。理解了这个定理，就可以理解RSA。多看几遍欧拉定理的定义，知道公式表达的意思就够了。

（4）模反元素

还剩最后一个概念：

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1

这时，b就叫做a的“模反元素”。

比如，3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素。

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在。

可以看到，a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素。

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至此RSA算法的需要的数学知识就讲完了，让我们来总结一下吧：

1. 如果两个正整数，除了1以外没有其他公因子，我们就称这两个数是互质关系，比如4和15
2. 任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？比如10以内的正整数有哪几个与10互质呢？计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示，φ(10)=4，以及欧拉函数的5种情况。

3. 欧拉定理：如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：
   
   

4. 如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 ab-1 被n整除，或者说ab被n除的余数是1，这时，b就叫做a的“模反元素”

是不是感觉也不是很难呀，下期我们将一起进入RSA算法最核心的内容：RSA加解密过程及公式论证，我会为大家一步一步的推论，绝对会是最详细的一份RSA算法原理剖析，大家期待吧！

ps:有一份英文介绍RSA加密算法的文档，感兴趣的同学可以看看：The RSA Cryptosystem: History, Algorithm, Primes

附手稿：