CF618F Double Knapsack 构造、抽屉原理

传送门

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首先，选取子集的限制太宽了，子集似乎只能枚举，不是很好做。考虑加强限制条件：将“选取子集”的限制变为“选取子序列”的限制。在接下来的讨论中我们将会知道：将限制控制得更紧，问题也一定会有解。

现在我们需要求\(A,B\)的两个子序列，满足两者的和相等。显然可以前缀和，然后就不会做了qwq

考虑下面的算法：假定\(\sum\limits_{a \in A} a < \sum\limits_{b \in B} b\)（如果相等直接全选），设序列\(A\)前缀和为\(sumA_i\)，序列\(B\)前缀和为\(sumB_i\)。

对于\(n+1\)个\(sumA_i\)，在\(sumB\)中找到最小的大于等于它的元素\(sumB_j\)，那么一定有\(sumB_j - sumA_i \in [0,n)\)，可能的\(sumB - sumA\)有\(n\)种，但是有\(n+1\)组\(i,j\)。

根据抽屉原理，一定会存在两组\((i_1,j_1)(i_2,j_2)(i_1 > i_2)\)满足\(sumB_{j_1} - sumA_{i_1} = sumB_{j_2} - sumA_{i_2}\)，即\(sumB_{j_1} - sumB_{j_2} = sumA_{i_1} - sumA_{i_2}\)。这样我们就找到了一组可行解：在\(A\)中选择\(A_x , x \in (i_2 , i_1]\)，在\(B\)中选择\(B_y , y \in (j_2 , j_1]\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<random>
//This code is written by Itst
using namespace std;
inline int read(){
	int a = 0;
	char c = getchar();
	bool f = 0;
	while(!isdigit(c) && c != EOF){
		if(c == '-')
			f = 1;
		c = getchar();
	}
	if(c == EOF)
		exit(0);
	while(isdigit(c)){
		a = a * 10 + c - 48;
		c = getchar();
	}
	return f ? -a : a;
}
#define PII pair < int , int >
#define st first
#define nd second
#define ll long long
const int MAXN = 1e6 + 7;
ll A[MAXN] , B[MAXN];
PII pos[MAXN];
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in","r",stdin);
	//freopen("out","w",stdout);
#endif
	int N = read();
	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
		A[i] = A[i - 1] + read();
	for(int i = 1 ; i <= N ; ++i)
		B[i] = B[i - 1] + read();
	bool f = A[N] > B[N];
	if(f) swap(A , B);
	fill(pos , pos + N + 1 , PII(-1 , -1));
	int p = 0;
	for(int i = 0 ; i <= N ; ++i){
		while(B[p] < A[i]) ++p;
		if(pos[B[p] - A[i]] != PII(-1 , -1)){
			PII t = pos[B[p] - A[i]];
			if(!f){
				printf("%d\n" , i - t.first);
				for(int j = t.first + 1 ; j <= i ; ++j)
					printf("%d " , j);
				printf("\n%d\n" , p - t.second);
				for(int j = t.second + 1 ; j <= p ; ++j)
					printf("%d " , j);
			}
			else{
				printf("%d\n" , p - t.second);
				for(int j = t.second + 1 ; j <= p ; ++j)
					printf("%d " , j);
				printf("\n%d\n" , i - t.first);
				for(int j = t.first + 1 ; j <= i ; ++j)
					printf("%d " , j);
			}
			return 0;
		}
		else pos[B[p] - A[i]] = PII(i , p);
	}
	puts("-1");
	return 0;
}