“玲珑杯”ACM比赛 Round #12 （D） 【矩阵快速幂的时间优化】

//首先，感谢Q巨

题目链接

定义状态向量b[6]

　　b[0]:三面临红色的蓝色三角形个数

　　b[1]:两面临红色且一面临空的蓝色三角形个数

　　b[2]:一面临红色且两面临空的蓝色三角形个数

　　b[3]:三面临红色的黄色三角形个数

　　b[4]:两面临红色且一面临绿+的黄色三角形个数

　　b[5]:一面临红色且两面临绿+的黄色三角形个数

转移矩阵：

[3 1 0 0 0 0;
0 2 2 0 0 0;
0 1 3 0 0 0;
3 2 1 0 0 0;
0 0 0 6 3 0;
0 0 0 0 2 4]

最朴素的TLE代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
;
;
LL b[N]= {,,,,,};        //此处初始化列向量
LL hh[N][N]={{,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,}
            };
struct Mat
{
    LL mat[N][N];
} A;
Mat Mut(Mat a,Mat b)
{
    Mat c;
    memset(c.mat,,sizeof(c.mat));
    ; k<N; k++)
        ; i<N; i++)
            if(a.mat[i][k])
            ; j<N; j++)
            {
                c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%mod;
                c.mat[i][j]=c.mat[i][j]%mod;
            }
    return c;
}
Mat Qpow(Mat a,LL n)
{
    Mat c;
    ; i<N; ++i)
        ; j<N; ++j)
            c.mat[i][j]=(i==j);
    )
    {
        ) c=Mut(c,a);
        a=Mut(a,a);
    }
    return c;
}
void cal(Mat A,LL n,LL b[],LL& Fn,LL& Gn)
{
    Mat A_=Qpow(A,n-);
    Fn=Gn=;
    LL c[N]={};
    ;i<N;i++)
        ;j<N;j++)
            c[i]=(c[i]+A_.mat[i][j]*b[j])%mod;
    Fn=(c[]+c[]+c[])%mod;
    Gn=(c[]+c[]+c[])%mod;
}
void init_A()
{
    ;i<N;i++)
        ;j<N;j++)
            A.mat[i][j]=hh[i][j];
}
 
int main()
{
    LL n,Fn,Gn;
    init_A();
    while(cin>>n)
    {
        )
        {
            puts("1 0");
            continue;
        }
        n--;
        cal(A,n,b,Fn,Gn);
        cout<<Fn<<' '<<Gn<<endl;
    }
}

貌似（只是貌似）被优化但仍然TLE的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
;
;
LL b[N]= {,,,,,};        //此处初始化列向量
LL hh[N][N]={{,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,}
            };
struct Mat
{
    LL mat[N][N];
} A,F[];
void printM(Mat x)
{
    puts("=================================================================");
    ;i<N;i++)
    {
        ;j<N;j++)
            printf("%10lld",x.mat[i][j]);
        puts("");
    }
}
Mat Mut(Mat a,Mat b)
{
    Mat c;
    memset(c.mat,,sizeof(c.mat));
    ; k<N; k++)
        ; i<N; i++)
            if(a.mat[i][k])
            ; j<N; j++)
            {
                c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%mod;
                c.mat[i][j]=c.mat[i][j]%mod;
            }
    return c;
}
 
Mat Qpow(Mat a,LL n)
{
    Mat c;
    ; i<N; ++i)
        ; j<N; ++j)
            c.mat[i][j]=(i==j);
    )
    {
        ) c=Mut(c,a);
        a=Mut(a,a);
    }
    return c;
}
void cal(Mat A,LL n,LL b[],LL& Fn,LL& Gn)
{
    Mat A_;
    ; i<N; ++i)
        ; j<N; ++j)
            A_.mat[i][j]=(i==j);
    ;i<&&n;i++,n>>=)
        ) A_=Mut(A_,F[i]);
    //printM(A_);
    Fn=Gn=;
    LL c[N]={};
    ;i<N;i++)
        ;j<N;j++)
            c[i]=(c[i]+A_.mat[i][j]*b[j])%mod;
    Fn=(c[]+c[]+c[])%mod;
    Gn=(c[]+c[]+c[])%mod;
}
 
void init_A()
{
    ;i<N;i++)
        ;j<N;j++)
            A.mat[i][j]=hh[i][j];
    F[]=A;
    ;i<;i++)
        F[i]=Mut(F[i-],F[i-]);
}
 
int main()
{
    LL n,Fn,Gn;
    init_A();
    int T;
//    cin>>T;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--)
    {
//        cin>>n;
        scanf("%lld",&n);
        )
        {
            puts("1 0");
            continue;
        }
        n-=;
        cal(A,n,b,Fn,Gn);       //        cout<<Fn<<' '<<Gn<<endl;
        printf("%lld %lld\n",Fn,Gn);
    }
}

矩阵相乘一次的复杂度是O(N^3)的，不过预处理2^i（i：0~60）的矩阵后，可以用向量记录中间结果，而矩阵*向量的复杂度为O(N^2)

最终复杂度： O(T * lb(n) * N^2)->O(1e5 * 60 * 36)->O(2e8)

最终可以AC的代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
;
;
LL b[N]= {,,,,,};        //此处初始化列向量
LL hh[N][N]={{,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,},
             {,,,,,}
            };
struct Mat
{
    LL mat[N][N];
} A,F[];
void printM(Mat x)
{
    puts("=================================================================");
    ;i<N;i++)
    {
        ;j<N;j++)
            printf("%10lld",x.mat[i][j]);
        puts("");
    }
}
Mat Mut(Mat a,Mat b)
{
    Mat c;
    memset(c.mat,,sizeof(c.mat));
    ; k<N; k++)
        ; i<N; i++)
            if(a.mat[i][k])
            ; j<N; j++)
            {
                c.mat[i][j]+=a.mat[i][k]*b.mat[k][j]%mod;
                c.mat[i][j]=c.mat[i][j]%mod;
            }
    return c;
}
 
Mat Qpow(Mat a,LL n)
{
    Mat c;
    ; i<N; ++i)
        ; j<N; ++j)
            c.mat[i][j]=(i==j);
    )
    {
        ) c=Mut(c,a);
        a=Mut(a,a);
    }
    return c;
}
void cal(Mat A,LL n,LL b[],LL& Fn,LL& Gn)
{
    Mat A_;
    LL c[N]={,,,,,};
    ; i<N; ++i)
        ; j<N; ++j)
            A_.mat[i][j]=(i==j);
    ;i<&&n;i++,n>>=)
        )
        {
            LL tres[]={,,,,,};
            ;j<;j++)    //矩阵的行
                ;k<;k++)    //矩阵的列
                    tres[j]=(tres[j]+F[i].mat[j][k]*c[k])%mod;
            ;j<;j++)
                c[j]=tres[j]%mod;
        }
    Fn=Gn=;
    Fn=(c[]+c[]+c[])%mod;
    Gn=(c[]+c[]+c[])%mod;
}
 
void init_A()
{
    ;i<N;i++)
        ;j<N;j++)
            A.mat[i][j]=hh[i][j];
    F[]=A;
    ;i<;i++)
        F[i]=Mut(F[i-],F[i-]);
}
 
int main()
{
    LL n,Fn,Gn;
    init_A();
    int T;
    scanf("%lld",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);
        )
        {
            puts("1 0");
            continue;
        }
        n-=;
        cal(A,n,b,Fn,Gn);
        printf("%lld %lld\n",Fn,Gn);
    }
}