题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6333

解题心得:

  • 这个题可以说是十分精彩了,首先推组合数学的公式,其中一个很重要的公式是Cnm = Cmn-1 + Cm-1n-1  这个公式知道杨辉三角的都明白,但是一看发现似乎没啥用。但是可以以这个公式为基础继续推演下去。
  • 设Snm = Cn1 + Cn2 + Cn3 + ...... Cnm 然后继续使用上面的基本公式可以化成
  • Sn m-1 = Sn m - Cn m
    Sn m+1 = Sn m + Cn m+1
    Sn+1 m = 2Sn m - Cn m
    Sn m = (Sn+1 m + Cn m)/2
  • 这些个公式看起来没啥用,但是知道S的关系之间可以通过O(1)的复杂度来进行转化,这样就可以将105次询问离线化处理,也就是用莫队来维护。神奇阿,想破脑袋就是想不到阿。里面的除法取余的操作用逆元来处理,逆元可以先全与预处理出来。
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// ┃   ┃ 神兽保佑
// ┃   ┃ 代码无BUG!
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+;
const int MOD = 1e9+;
typedef long long ll; struct Query {
ll n, m, B, pos, ans;
}q[maxn]; ll unit, ans, fac[maxn], inv[maxn], t, rev2; ll quick_pow(ll a, ll b) {
ll res = ;
while(b) {
if(b&)
res = res * a % MOD;
a = a * a % MOD;
b >>= ;
}
return res;
} void get_fac() { //预处理出阶乘和逆元
fac[] = ;
fac[] =;
for(int i=;i<maxn;i++) {
fac[i] = i * fac[i-] % MOD;
} //神奇的操作
inv[maxn-] = quick_pow(fac[maxn-], MOD-);
for(int i=maxn-;i>=;i--) {
inv[i] = inv[i+] * (i + ) % MOD;
}
} bool cmp1(Query a, Query b) {
if(a.B == b.B)
return a.m < b.m;
return a.B < b.B;
} bool cmp2(Query a, Query b) {
return a.pos < b.pos;
} void init() {
unit = sqrt(maxn);
get_fac();
scanf("%lld", &t);
for(int i=;i<t;i++) {
scanf("%lld%lld", &q[i].n, &q[i].m);
q[i].B = q[i].n/unit;
q[i].pos = i;
}
rev2 = quick_pow(, MOD-);
sort(q, q+t, cmp1);
} ll C(ll n, ll m) {//得到c(n, m)的组合
ll ans = fac[n] * inv[n-m] % MOD * inv[m] % MOD;
return ans;
} void addL(ll l, ll r) {
ans = (( * ans % MOD) + MOD - C(l, r)) % MOD;
} void cutL(ll l, ll r) {
ans = (ans + C(l-, r) % MOD) * rev2 % MOD;
} void addR(ll l, ll r) {
ans = (ans + C(l, r+)) % MOD;
} void cutR(ll l, ll r) {
ans = (ans + MOD - C(l, r)) % MOD;
} int main() {
init();
ll l=, r = ;
ans = ;
for(int i=;i<t;i++) {//离线莫队处理
int L = q[i].n;
int R = q[i].m;
while(l < L) addL(l++, r);
while(l > L) cutL(l--, r);
while(r > R) cutR(l, r--);
while(r < R) addR(l, r++); q[i].ans = ans;
}
sort(q, q+t, cmp2);
for(int i=;i<t;i++) {
printf("%lld\n",q[i].ans);
}
return ;
}

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