codeforces 1284E. New Year and Castle Construction(极角排序+扫描枚举)
链接 https://codeforces.com/problemset/problem/1284/E
题意:平面上有n个点,问你存在多少组四个点围成的四边形 严格包围某个点P的情况。不存在三点共线。
思路:首先看数据范围是2500,可以做n^2的枚举,我们可以枚举两遍n。正面求解有些困难,反面求解可以考虑有多少组子集不满足题目要求,拿总的子集数量减去不满足的就是答案。
那么考虑不满足题意的点集。
首先如果对于一对点P和P1,让它们连线,以P为基准,相对度数为0度,枚举P和P1这个条线以上的所有点,假设枚举出n个点,n个点加P1,从中选出4个点,这4个点组成的四边形必定不含点P,以此性质
首先做一遍极角排序,然后固定一条边,以这条边为0度,开始扫描这条边0到180度的所有点,然后从中任意选出3个点C(n,3),与P1组成的四边形便不封闭包围P1,统计所有不满足条件的点集,用总体点集
个数C(n,5)- 不满足的组合个数 就是答案了。
(如图所示,P1,P2,P3,P4组成的四边形不封闭包围点P。)
AC代码:
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const long double pi = acos(-.0L);
const int maxn = 2e3+;
long double x[maxn],y[maxn];
int main()
{
int n;cin>>n;
ll ans = (ll)n*(n-)*(n-)*(n-)*(n-)/;
for(int i = ;i<n;i++){
ll xi,yi;
cin>>xi>>yi;
x[i] = xi,y[i] = yi;
}
for(int i = ;i<n;i++){
vector<long double> v;
for(int j = ;j<n;j++){
if(i == j) continue;
v.push_back(atan2(y[j]-y[i],x[j]-x[i])); //算一下角度
}
sort(v.begin(),v.end());//做极角排序
int k = n - , cur = ;
for(int j = ;j<k;j++){
while(cur < j+k){ //枚举点个数增加一倍
long double angle = v[cur%k] - v[j];//枚举两条边的夹角
if(angle < ) angle+=*pi;//如果角度小于0,则增加2*pi转一圈
if(angle < pi) cur++;//如果该点在枚举的这条线上面,则cur++
else break;
}
long long cnt = cur - j - ;
ans-=1ll*cnt*(cnt-)*(cnt-)/;
}
}
cout<<ans;
return ;
}
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