LOJ #3119. 「CTS2019 | CTSC2019」随机立方体 组合计数+二项式反演

好神的一道计数题呀.

code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define N 5000003
#define ll long long
#define mod 998244353
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
int invg[N],dp[N],f[N],fac[N],inv[N];
ll g[N];
int qpow(int x,int y)
{
    int tmp=1;
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
        if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod;
    return tmp;
}
int C(int x,int y)
{
    return (ll)fac[x]*inv[y]%mod*inv[x-y]%mod;
}
int INV(int x) { return qpow(x,mod-2); }
void solve()
{
    int n,m,l,mi,kth,i,j;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&l,&kth);
    mi=min(min(n,m),l);
    if(kth>mi) { printf("0\n"); return ; }
    ll tot=1ll*n*m%mod*l%mod,in=1ll;
    g[0]=tot%mod;
    for(i=1;i<=mi;++i)
    {
        g[i]=(tot-1ll*(n-i)*(m-i)%mod*(l-i)%mod+mod)%mod;
        in=in*g[i]%mod;
    }
    invg[mi]=qpow(in,mod-2);
    for(i=mi-1;i>=0;--i) invg[i]=(ll)invg[i+1]*g[i+1]%mod;
    f[0]=1;
    for(i=0;i<mi;++i)   f[i+1]=(ll)f[i]*(n-i)%mod*(m-i)%mod*(l-i)%mod;
    for(i=0;i<=mi;++i)  dp[i]=(ll)f[i]*invg[i]%mod;
    int ans=0;
    for(i=kth;i<=mi;++i)
    {
        int d=((i-kth)&1)?(mod-1):1;
        (ans+=(ll)d*C(i,kth)%mod*dp[i]%mod)%=mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<N;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
    inv[N-1]=qpow(fac[N-1],mod-2);
    for(int i=N-2;i>=0;i--) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int main()
{
    // setIO("input");
    init();
    int i,j,T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--) solve();
    return 0;
}