关于KMP的一点思考

关于KMP的一点思考

KMP的\(next\)数组的性质很精妙，有必要开一个坑学习一下

Part 1 啥是next

\(next[i]\)表示对于\(pre_i\)这个字符串，这个抠出来的字符串本身后缀和前缀相等的最长长度。是一个自变量只和这个子串有关的函数。这点很重要

由于保证了是最长长度，这个数有一些优良的性质，常常在关于一个串的循环表示或者周期表示中发挥作用。

注意到这个\(next[i]\)虽然代表是这个最长长度，但是值得注意的是，由于字符串从1开始编号，所以这个值也是那个前缀的下标。

Part2 如何求next

边界条件是，\(nx[1]=0\)。考虑我们若已经求得前面\(i-1\)的位置的\(nx\)值，现在如何求\(nx[i]\)。

把\(S[1\dots i-1]\)看做一个整体，现在我们在后面加入了一个字符\(S[i]=c\)。

我们现在就是要在\(pre_{nx[i-1]}\)中截一个最大的位置\(p\)，使得\(S[p+1]=c\)，而\(p\)虽然是下标，但是由于从\(1\)开始编号那么就同时就是这个串的长度，所以\(nx[i]=p+1\)。为什么是在\(pre_{nx[i-1]}\)中找呢？因为我们要保证\(S[i-p+1...i]=S[1,p]\)。

所以如何找\(p\)呢？由于我们要保证刚刚写的这个等式，可以发现\(p\)一定是在\(G=(V,E),E=(x,nx[x])\)这样的图中和\(nx[i-1]\)联通的到祖先的链上，所以我们一直暴力跳\(nx[]\)也就是遍历这条链，直到第一次找到一个位置\(p\)使得\(S[nx[p]+1]=S[i]\)。

但是你可能觉得这样的复杂度是假的，下面我将证(复)明(读)暴力跳\(nx[]\)遍历的复杂度不超过\(O(n)\)

可以发现\(nx[i]\le nx[i-1]+1\)，得证。

哈哈哈哈

其实就是，\(nx[i]\)的总增长是\(O(n)\)的，而且一次最多增长\(1\)，所以在其间不断跳的复杂度不超过\(O(n)\)。(总共只有这么多\(nx\)给你跳啊！)

代码：

	for(int t=2;t<=s2;++t){
		nx[t]=nx[t-1];
		while(nx[t]>0&&T[nx[t]+1]!=T[t]) nx[t]=nx[nx[t]];
		if(T[nx[t]+1]==T[t]) ++nx[t];
	}

Part 3 一些性质

由于我马上就要咕咕咕所以

P3435 [POI2006]OKR-Periods of Words

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define getchar() (__c==__ed?(__ed=__buf+fread(__c=__buf,1,1<<18,stdin),*__c++):*__c++)

using namespace std;  typedef long long ll;   char __buf[1<<18],*__c=__buf,*__ed=__buf;
inline int qr(){
	register int ret=0,f=0;
	register char c=getchar();
	while(!isdigit(c))f|=c==45,c=getchar();
	while(isdigit(c)) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
	return f?-ret:ret;
}
const int maxn=1e6+5;
char c[maxn];
int n,nx[maxn],cut[maxn];

inline void kmp(){
	for(int t=2;t<=n;++t){
		nx[t]=nx[t-1];
		while(nx[t]>0&&c[nx[t]+1]!=c[t]) nx[t]=nx[nx[t]];
		if(c[nx[t]+1]==c[t]) ++nx[t];
	}
}

int Find(const int&p){
	if(!nx[p]) return p;
	if(cut[p]) return cut[p];
	return cut[p]=Find(nx[p]);
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.in","r",stdin);
	//freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	scanf("%d%s",&n,c+1);
	kmp();
	ll ans=0;
	for(int t=1;t<=n;++t)
		ans=(ans+t-Find(t));
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

[P4824 USACO15FEB]Censoring (Silver) 审查(银)

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;  typedef long long ll;
const int maxn=1e6+5;
char S[maxn],T[maxn];
pair<int,int> stk[maxn];
int s1,s2,top,nx[maxn];

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
#endif
	scanf("%s%s",S+1,T+1);
	s1=strlen(S+1);
	s2=strlen(T+1);
	for(int t=2;t<=s2;++t){
		nx[t]=nx[t-1];
		while(nx[t]>0&&T[nx[t]+1]!=T[t]) nx[t]=nx[nx[t]];
		if(T[nx[t]+1]==T[t]) ++nx[t];
	}
	int p=0;
	for(int t=1;t<=s1;++t){
		while(p&&T[p+1]!=S[t]) p=nx[p];
		if(T[p+1]==S[t]) ++p;
		stk[++top]=(pair<int,int>){t,p};
		if(p==s2) top-=s2,p=stk[top].second;
	}
	for(int t=1;t<=top;++t) printf("%c",S[stk[t].first]);
	putchar('\n');
	return 0;
}