Luogu 2590 [ZJOI2008]树的统计 / HYSBZ 1036 [ZJOI2008]树的统计Count （树链剖分，LCA，线段树）

Luogu 2590 [ZJOI2008]树的统计 / HYSBZ 1036 [ZJOI2008]树的统计Count （树链剖分，LCA，线段树）

Description

一棵树上有n个节点，编号分别为1到n，每个节点都有一个权值w。我们将以下面的形式来要求你对这棵树完成一些操作：

I. CHANGE u t : 把结点u的权值改为t

II. QMAX u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的最大权值

III. QSUM u v: 询问从点u到点v的路径上的节点的权值和 注意：从点u到点v的路径上的节点包括u和v本身

Input

输入文件的第一行为一个整数n，表示节点的个数。

接下来n – 1行，每行2个整数a和b，表示节点a和节点b之间有一条边相连。

接下来一行n个整数，第i个整数wi表示节点i的权值。

接下来1行，为一个整数q，表示操作的总数。

接下来q行，每行一个操作，以“CHANGE u t”或者“QMAX u v”或者“QSUM u v”的形式给出。

Output

对于每个“QMAX”或者“QSUM”的操作，每行输出一个整数表示要求输出的结果。

Sample Input

4

1 2

2 3

4 1

4 2 1 3

12

QMAX 3 4

QMAX 3 3

QMAX 3 2

QMAX 2 3

QSUM 3 4

QSUM 2 1

CHANGE 1 5

QMAX 3 4

CHANGE 3 6

QMAX 3 4

QMAX 2 4

QSUM 3 4

Sample Output

4

1

2

2

10

6

5

6

5

16

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2590

HYSBZ:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1036

Source

树链剖分，最近公共祖先LCA，线段树

解决思路

这是一道树链剖分入门题。

考虑将树按照子树大小剖分成轻链和重链，然后用线段树来维护区间和和区间最大值。

需要注意的是，在树上进行链的跳转时，使用原编号，而若要用线段树查询或修改线段树时，要使用线段树中的编号（即第2次dfs中给点新分配的编号）

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define ll long long

const int maxN=350000;
const int inf=2147483647;

class Edge//边
{
public:
    int u,v,nex;
};

class SegmentTree//线段树
{
public:
    ll mx,sum;//维护最大值和区间和
    SegmentTree()
        {
            mx=0;
            sum=0;
        }
};

class Tree_Chain//树链剖分中需要维护的一些值
{
public:
    int f,sz,top,hson,depth;//父节点，大小，向上跳的最高位置，重儿子，深度
};

int n;
//Tree 原树的一些数据
int cnt;
int Head[maxN];
Edge E[maxN*2];
ll W[maxN];//点权
Tree_Chain T[maxN];//树链剖分维护的值
int dfn[maxN];//记录树链剖分后的点的新编号（按照先重链再轻链）
SegmentTree Seg[maxN*4];//线段树

void Add_Edge(int u,int v);
//Tree_Chain
void dfs1(int u,int father);//第一遍dfs求出T中的一些数据
void dfs2(int u,int Top);//第二遍dfs构造Top和分配新编号
ll LCA_sum(int u,int v);//求解区间和
ll LCA_max(int u,int v);//求解区间最大值
//SegmentTree
void Update(int l,int r,int now,int pos,int key);//线段树单点更新
ll Query_sum(int l,int r,int now,int ql,int qr);//查询区间和
ll Query_max(int l,int r,int now,int ql,int qr);//查询区间最大值

int main()
{
    cnt=0;
    memset(Head,-1,sizeof(Head));
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<n;i++)//输入
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        Add_Edge(u,v);
        Add_Edge(v,u);
    }
    T[1].f=0;//默认1为根节点
    T[1].depth=1;
    dfs1(1,1);//第一遍dfs
    cnt=0;//标号置为0
    dfs2(1,1);//第二遍dfs
    for (int i=1;i<=n;i++)//输入点权
        scanf("%lld",&W[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        Update(1,n,1,dfn[i],W[i]);//将点权按照新编号放入线段树
    int qus;
    scanf("%d",&qus);
    while (qus--)//处理操作
    {
        char str[10];
        scanf("%s",str);
        if (str[0]=='Q')
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            if (str[1]=='M')
                printf("%lld\n",LCA_max(u,v));//查询最大值
            else
                printf("%lld\n",LCA_sum(u,v));//查询和
        }
        else
        {
            int pos,key;
            scanf("%d%d",&pos,&key);
            pos=dfn[pos];
            Update(1,n,1,pos,key);//单点修改
        }
    }
    return 0;
}

void Add_Edge(int u,int v)//在图中加一条边
{
    cnt++;
    E[cnt].nex=Head[u];
    Head[u]=cnt;
    E[cnt].u=u;
    E[cnt].v=v;
    return;
}

void dfs1(int u,int father)//第一遍dfs
{
    T[u].sz=1;//初始化基本信息
    T[u].hson=0;
    for (int i=Head[u];i!=-1;i=E[i].nex)
    {
        int v=E[i].v;
        if (v==father)
            continue;
        T[v].f=u;//将子节点信息更新
        T[v].depth=T[u].depth+1;
        dfs1(v,u);
        T[u].sz=T[u].sz+T[v].sz;
        if ((T[u].hson==0)||(T[T[u].hson].sz<T[v].sz))//求出重儿子
            T[u].hson=v;
    }
    return;
}

void dfs2(int u,int Top)//第二遍dfs，Top是当前传下来的能到达的重链顶端，当u==Top时，为轻链
{
    cnt++;
    dfn[u]=cnt;//分配新编号
    T[u].top=Top;//分配Top
    if (T[u].hson==0)//没有重儿子，说明到了叶子节点
        return;
    dfs2(T[u].hson,Top);//让重儿子继承重链
    for (int i=Head[u];i!=-1;i=E[i].nex)
    {
        int v=E[i].v;
        if ((v==T[u].f)||(v==T[u].hson))
            continue;
        dfs2(v,v);//其他儿子开轻链
    }
    return;
}

ll LCA_max(int u,int v)//求解u到v路径上的最大点权
{
    ll mx=-inf;
    while (T[u].top!=T[v].top)
    {
        if (T[T[u].top].depth<T[T[v].top].depth)//保证每一次u的深度尽量大
            swap(u,v);
        mx=max(mx,Query_max(1,n,1,dfn[T[u].top],dfn[u]));//让深度大的向上跳，注意这里要转成线段树中的编号
        u=T[T[u].top].f;
    }
    if (dfn[v]<dfn[u])//保证u的深度更小
        swap(u,v);
    mx=max(mx,Query_max(1,n,1,dfn[u],dfn[v]));//查询链
    return mx;
}

ll LCA_sum(int u,int v)//求解u到v上的点权之和，与上面基本一样
{
    ll sum=0;
    while (T[u].top!=T[v].top)
    {
        if (T[T[u].top].depth<T[T[v].top].depth)
            swap(u,v);
        sum=sum+Query_sum(1,n,1,dfn[T[u].top],dfn[u]);
        u=T[T[u].top].f;
    }
    if (dfn[v]<dfn[u])
        swap(u,v);
    sum=sum+Query_sum(1,n,1,dfn[u],dfn[v]);
    return sum;
}

void Update(int l,int r,int now,int pos,int key)//线段树单点修改
{
    if (l==r)
    {
        Seg[now].mx=Seg[now].sum=key;
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if (pos<=mid)
        Update(l,mid,now*2,pos,key);
    if (pos>=mid+1)
        Update(mid+1,r,now*2+1,pos,key);
    Seg[now].sum=Seg[now*2].sum+Seg[now*2+1].sum;
    Seg[now].mx=max(Seg[now*2].mx,Seg[now*2+1].mx);
    return;
}

ll Query_sum(int l,int r,int now,int ql,int qr)//线段树查询区间和
{
    if ((l==ql)&&(r==qr))
        return Seg[now].sum;
    int mid=(l+r)/2;
    if (qr<=mid)
        return Query_sum(l,mid,now*2,ql,qr);
    else if (ql>=mid+1)
        return Query_sum(mid+1,r,now*2+1,ql,qr);
    else
        return Query_sum(l,mid,now*2,ql,mid)+Query_sum(mid+1,r,now*2+1,mid+1,qr);
}

ll Query_max(int l,int r,int now,int ql,int qr)//线段树查询区间最大值
{
    if ((l==ql)&&(r==qr))
        return Seg[now].mx;
    int mid=(l+r)/2;
    if (qr<=mid)
        return Query_max(l,mid,now*2,ql,qr);
    if (ql>=mid+1)
        return Query_max(mid+1,r,now*2+1,ql,qr);
    return max(Query_max(l,mid,now*2,ql,mid),Query_max(mid+1,r,now*2+1,mid+1,qr));
}