[HNOI2010]平面图判定

Description:

若能将无向图 \(G=(V, E)\) 画在平面上使得任意两条无重合顶点的边不相交，则称 \(G\) 是平面图。判定一个图是否为平面图的问题是图论中的一个重要问题。现在假设你要判定的是一类特殊的图，图中存在一个包含所有顶点的环，即存在哈密顿回路。输入输出格式输入格式：

输入文件的第一行是一个正整数 \(T\)，表示数据组数 (每组数据描述一个需要判定的图)。接下来从输入文件第二行开始有 \(T\) 组数据，每组数据的第一行是用空格隔开的两个正整数 \(N\) 和 \(M\)，分别表示对应图的顶点数和边数。紧接着的 \(M\) 行，每行是用空格隔开的两个正整数 \(u\) 和 \(v\) \(\left(1\leq u,v\leq N\right)\)，表示对应图的一条边 \(\left(u,v\right)\), 输入的数据保证所有边仅出现一次。每组数据的最后一行是用空格隔开的 \(N\) 个正整数，从左到右表示对应图中的一个哈密顿回路：\(V_1,V_2,…,V_N\)，即对任意 \(i\not=j\) 有 \(V_i\not=V_j\) 且对任意 \(1\leq i\leq N-1\) 有 \(\left(V_i,V_i-1\right)\in E\) 及 \(\left(V_1,V_N\right)\in E\)。

输入的数据保证 \(100\%\) 的数据满足 \(T\leq100,3\leq N\leq200,M\leq10000\).

Solution:

即判断是否可以让这些边都不相交

对于环上的四个点,设它们的序号依次为 \(a_1,a_2,a_3,a_4\)

若两条边为 \(a_1-a_2\) 和 \(a_3-a_4\)

显然他们不会相交

若为 \(a_1-a_3\) 和 \(a_2-a_4\)

则只有当一条边在回路外,一条边在回路内时,方可不相交

这样,\(2-SAT​\)的模型就建出来了

详见代码:

#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=1e6+5;
int n,m,T,p,tot,cnt,col;
int c[mxn],x[mxn],y[mxn],hd[mxn],ex[mxn],ey[mxn],bl[mxn],vis[mxn],dfn[mxn],ins[mxn],low[mxn],cir[mxn],f[2000][2000];
stack<int > st;

inline int read() {
	char c=getchar(); int x=0,f=1;
	while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
	return x*f;
}
inline void chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
inline void chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}

struct ed {
	int to,nxt;
}t[mxn];

inline void add(int u,int v) {
	t[++cnt]=(ed) {v,hd[u]}; hd[u]=cnt;
}

void tj(int u)
{
	dfn[u]=low[u]=++p; st.push(u); ins[u]=1;
	for(int i=hd[u];i;i=t[i].nxt) {
		int v=t[i].to;
		if(!dfn[v]) tj(v),chkmin(low[u],low[v]);
		else if(ins[v]) chkmin(low[u],dfn[v]);
	}
	if(low[u]==dfn[u]) {
		++col;
		do {
			bl[u]=col; u=st.top();
			st.pop(); ins[u]=0;
		} while(low[u]!=dfn[u]);
	}
}

int check() {
	for(int i=1;i<=m*2;++i)
		if(!dfn[i]) tj(i);
	for(int i=1;i<=m;++i)
		if(bl[i]==bl[i+m]) return 0;
	return 1;
}

void solve()
{
	cnt=tot=col=p=0; int a,b;
	memset(hd,0,sizeof(hd));
	memset(dfn,0,sizeof(dfn));
	memset(low,0,sizeof(low));
	memset(bl,0,sizeof(bl));
	memset(f,0,sizeof(f));
	n=read(); m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		x[i]=read(); y[i]=read();
		if(x[i]>y[i]) swap(x[i],y[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) {
		c[i]=read(); vis[c[i]]=i;
		if(i>1) {
			int a=c[i-1],b=c[i];
			if(a<b) f[a][b]=1;
			else f[b][a]=1;
		}
	}
	if(m>3*n-6) {
		puts("NO"); //这里是一个结论,若不满足则直接判掉
		return ; //由于我太菜了,所以不会证明
	}
	a=c[n],b=c[1];
	if(a<b) f[a][b]=1;
	else f[b][a]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i) {
		if(f[x[i]][y[i]]) continue ; //是环上的边,就不管它
		ex[++tot]=x[i],ey[tot]=y[i];
	}
	m=tot; int u,v,w,z;
	for(int i=1;i<m;++i) {
		for(int j=i+1;j<=m;++j) {
			u=vis[ex[i]],v=vis[ey[i]],w=vis[ex[j]],z=vis[ey[j]];
			if(u>v) swap(u,v); if(w>z) swap(w,z);
			if((u<w&&v>w&&v<z)||(u>w&&u<z&&v>z)) {
				add(i,j+m); add(i+m,j); //连边
				add(j,i+m); add(j+m,i); //内->外 外->内
			}
		}
	}
	printf(check()?"YES\n":"NO\n");
}

int main()
{
	T=read();
	while(T--) solve();
    return 0;
}