2017 CERC

2017 CERC

Problem A:Assignment Algorithm

题目描述：按照规则安排在飞机上的座位。

solution
模拟。

时间复杂度：\(O(nm)\)

Problem B:Buffalo Barricades

题目描述：将二维平面划分为一个个单位格，在平面上有一些被标记的格子。将\(x,y\)轴当成是围栏，现在以此给出一些坐标，每次从那个坐标出发向\(x, y\)轴建围栏，并输出新围栏围住的被标记格子数。

solution
待解决。

C:Cumulative Code

题目描述：给出一棵深度为\(K\)的满二叉树，逐层从左到右编号，然后写出满二叉树的prufer code(假设为\(P\)序列)。prufer code：每次选择一个编号最小的叶子节点，然后记录它的邻居编号，再把这个叶子节点删去，重复操作，直至只剩下两个节点。记录下来的编号序列就是prufer code。现在有\(q\)个询问，每次询问有三个参数\(a, d, m\)，表示求\(P_a, P_{a+d}, ... , P_{a+(m-1)d}\)的和。

solution
将子树分成两类。
\(A\)：

这类子树是先移除左子树，再移除右子树，最后移除根。

\(B\)：

这类子树是先移除左子树，再移除根，最后移除右子树。

先分析\(A\)类子树，\(B\)类子树做法类似。

设\(f_x(k)\)，表示根为\(x\)的子树深度为\(k\)(只有\(x\)时深度为\(1\))的prufer code和。则
\(f_x(1)=x/2\)
\(f_x(2)=2x+x/2\)
\(f_x(3)=10x+2+x/2\)
设\(f_x(k)=a_k \cdot x+ b_k + c_k \cdot (x/2)\)
则
\(f_x(k)=f_{2x}(k-1)+f_{2x+1}(k-1)+x/2\)
\(=a_{k-1} \cdot 2x +b_{k-1}+c_{k-1} \cdot x + a_{k-1}(2x+1) +b_{k-1}+c_{k-1} \cdot x +x/2\)
\(=(4a_{k-1}+2c_{k-1})x+(a_{k-1}+2b_{k-1}) + x/2\)
\(\therefore a_k=4a_{k-1}+2c_{k-1}, b_k=a_{k-1}+2b_{k-1}, c_k=1\)
设\(Q={a, a+d, ..., a+(m-1)d}\), \(next_{Q}(i)\)表示\(Q\)序列内大于等于\(i\)的最小编号。
设\(g_x(k, i)\)表示以\(x\)为根，深度为\(k\)的子树，在对该子树进行操作前已有\(i\)个prufer code(原树的)，在\(Q\)中的\(P\)和。按照类似\(f_x(k)\)的记录方式，同样也可以如此记录\(g_x(k, i)\)。则
\(g_x(k, i)=g_{2x}(k-1, i)+g_{2x+1}(k-1, i+2^{k-1}-1)+((i+2^k-1) \in Q) \cdot (x/2)\)
加快\(g\)的递归计算。

1. 如果\([i+1, i+2^k-1]\)中没有在\(Q\)中的编号，则直接返回
2. 记忆化一些状态：当\(k \leq K/2\)且\([i+1, i+2^k-1] \in [a, a+(m-1)d]\)时进行记忆化，记忆化的关键字为\((k, next_Q(i)-i)\)

由于有条件\(1\)，所以\(next_Q(i) \leq i+2^k-1\)，所以最多有\(2^{K/2}\)种状态需要记忆化。
剩下还有几种情况：

1. \(B\)类树，但\(B\)类树最多计算\(K\)次
2. 当\(k>K/2\)时，这里会调用\(2^K\)次。
3. \([i+1, i+2^k-1]\)与\([a, a+(m-1)d]\)相交，但\([i+1, i+2^k-1]\)不在\([a, a+(m-1)d]\)内，这种情况最多有\(K\)次。
   所以每个询问的时间复杂度为\(O(2^{K/2})\)

时间复杂度：\(O(2^{K/2}q)\)

Problem D:Donut Drone

题目描述：有一个\(r \times c\)的网格，每个格子有一个整数。现在从第一列的指定一格出发，每次移动一步是这样的：选择右边相邻一列的相邻三个格子（右上，右，右下）中整数最大的格子。第一列与第\(c\)列是相邻的，第一行与第\(r\)行也是相邻的。现在有两种操作：1、移动\(k\)步，输出移动后的坐标。2、修改某个格子的数字。

solution
预处理出\(jump[row]\)表示从第一列的第\(row\)行出发，移动\(c\)步回到第一列的第\(jump[row]\)行。这样就可以\(O(1)\)移动\(c\)步，根据鸽巢原理，\(jump[row]\)是一个环，所以\(O(r)\)能完成任意步的移动。
问题在于操作2。通过观察，可以得知第一列能走到\((x, y)\)的行是一个连续区间，而且修改某个格子的值只会影响左边三个格子的走向，即另外形成三条路径，这几条路径可以暴力跑一遍，然后暴力修改那个连续区间的\(jump[row]\)值。

时间复杂度：\(O(r+c)\)每次询问。

Problem E:Embedding Enumeration

题目描述：给出一棵树，有\(n\)个节点，\(1\)为树根。现在要将这棵树放在一个\(2 \times n\)的网格中，每个格子放一个节点，树上相邻的点要放在相邻的格子，\(1\)号点要放在左上角的格子，问有多少种放置方法。

solution
首先可以确定这棵树是一个二叉树，否则无解。
\(f(x, delta)\)表示只剩下\(x\)的子树（不含\(x\)）还没放置，\(x\)放置的那一行放得比另一行长，长\(delta\)格的方案数。
现分情况讨论：

1. \(x\)没有儿子，则找到一种可行方案。
2. \(x\)有一个儿子\(y\)，
   1. \(y\)可以放在\(x\)的右边，转移状态至\(f(y, delta+1)\);
   2. 也可以放在下面。
      1. 若\(y\)的一个儿子\(z\)要放在\(y\)的左边，则\(z\)只能是一条长度不超过\(delta-1\)的链。
      2. 若\(y\)的一个儿子\(v\)放在\(y\)的右边，则转移状态至\(f(v, 1)\)。
3. \(x\)有两个儿子\(y, u\)，\(y\)有一个儿子\(v\)放在\(y\)的右边。这样\(u, v\)的子树都还没有放置，也只能沿着自己所在那行一直延伸，直至某一行不能延伸，设另一行延伸到\(w\)，则转移状态至\(f(w, 1)\)

接下来就是想办法把\(delta\)省掉，具体方法是注意如果将\(f(x, 2)\)视为\(f(x, 1)\)，会算漏什么。具体还没实现。。。

时间复杂度：\(O(n)\)

Problem F:Faulty Factorial

题目描述：将\(n\)的阶乘中的一个数\(x\)换成比它小的数\(y>0\)，使得换了之后的乘积模\(p\)(质数)等于\(r\)。

solution
分情况讨论：

1. \(n \geq 2p\)。如果\(r \neq 0\)，则无解，否则将\(p\)变成\(1\)即可。
2. \(2p > n \geq p\)。如果\(r==0\)，则将一个非\(p\)的数变成\(1\)即可，注意：当\(n==p==2\)时无解。若\(r \neq 0\)，则将\(p\)变成另一个数，枚举一下就好。
3. \(p>n\)。\(\frac{M}{x} y \equiv r mod(p), M=n! mod (p)\), 则\(y \equiv rx \cdot inv(M) mod (p)\)。枚举\(x\)，求对应的\(y\)，求出一个可行解即可，否则无解。

时间复杂度：\(O(p)\)

Problem G:Gambling Guide

题目描述：给出一个\(n\)个点\(m\)条边的无向图，现在从\(1\)号点出发到\(n\)号点，假设现在在\(i\)号点，然后买票，但买到的票是随机的，即这张票通向的是\(i\)号点相邻点的随机一个，买到的票可以不立刻用，也可以不用。问需要期望买多少张票能从\(1\)号点到\(n\)号点。

solution
设\(f(x)\)为从\(x\)号点到\(n\)号点的期望买票数。按照最优策略，当买到去\(y\)的票时（\(y\)为\(x\)的邻居），若\(f(y)<f(x)\)，则移动到\(y\)，否则不动。
现在只知道\(f(n)=0\)。假设\(f(x)\)已知的集合为\(S\)，初始时\(S=\) { \(n\) }，然后按\(f(x)\)递增的顺序添加点进\(S\)。考虑那些不在\(S\)中，但有邻居在\(S\)的点\(x\)，则
\[f'(x)=1+\sum_{neighbour_y \in S} \frac{f(y)}{degree(x)} + \sum_{neighbour_y \notin S} \frac{f'(x)}{degree(x)}\]
\[f'(x)=\frac{degree(x)+\sum_{neighbour_y \in S} f(y)}{degree(x)-\sum_{neighbour_y \notin S} 1}\]
选择\(f'(x)\)最小的点添加到\(S\)，\(f(x)=f'(x)\)。
这个过程与Dijkstra很像，所以可以按照Dijkstra的实现方法来实现。

时间复杂度：\(O(mlogn)\)

Problem H:Hidden Hierarchy

题目描述：给出一些文件的大小，按规则展开目录，输出目录树

solution
模拟

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

Problem I:Intrinsic Interval

题目描述：给定一个\(n\)排列\(P\)。若排列中\([x, y]\)的数从小到大排序后是连续的，则称它是一个好区间。现有\(m\)个询问\((a, b)\)，问包含\((a, b)\)的最小好区间是哪一个。

solution
离线处理，分治。假设现在处理的询问都包含在\([L, R]\)中，设\(mid=\frac{L+R}{2}\)。然后将包含在\([L, mid], [mid+1, R]\)的区间分治处理。剩下的就是包含\([mid, mid+1]\)的询问，然后找出包含\([mid, mid+1]\)的所有好区间，用这些好区间更新询问的答案。

时间复杂度：\(O(n(logn)^2)\)

Problem J:Justified Jungle

题目描述：给定一个有\(n\)个节点的数，找出所有的整数\(k\)，满足在树上删掉\(k\)条边后，形成的每棵树的节点数相同。

solution
首先，\(k+1\)一定是\(n\)的因数。随意找一个点做根，求出每棵子树的大小。如果某一个\(k\)是答案，则子树大小是\(\frac{n}{k+1}\)的倍数的个数应该是\(k+1\)。可以证明这是充要条件。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

Problem K:Kitchen Knobs

题目描述：有\(n\)个转盘，每个转盘在边缘上均等写着\(7\)个数字（\(1\)~\(9\)），现在每次可以选定一个区间\([L, R]\)，将区间内的转盘顺时针同时转动若干次，使得最终每个转盘表示的数字最大（转盘表示的数字为：转盘指向的数字为七位数的最高位，然后顺时针依次连接），问应该选择多少个区间（输出次数即可）

solution
以下的讨论都是基于模\(7\)的情况。
首先观察可得，每个转盘转动次数要么是确定的，要么怎么转都可以。所以可以假设只有\(n\)个转动次数确定的转盘，每个转盘的转动次数为\(a_i\)。问题转化为每次选择一个区间加上一个相同的数，使得最终\(a_i=0\)
设\(b_i=a_i-a_{i-1}\)，将区间操作转化为点操作。将\(b_i\)分成尽量多的组，使得每一组的和等于\(0\)，原题的答案等于\(n\)-组数。因为将某一组\(b_i\)全变为\(0\)的次数为该组中的个数减一。
问题就转化为将\(b_i\)分成尽量多的组，使得每一组的和等于\(0\)。
首先将每个\(0\)归为一组，然后\(1, 6;2, 5;3, 4\)匹配，最终只剩下最多三种不同的数字，然后用\(dp\)算出答案。\(f[i][j][k]\)表示每种数剩下多少个分得的最多组数。

时间复杂度：\(O(n^3)\)

Problem L:Lunar Landscape

题目描述：在二维平面上有\(n\)个正方形，这\(n\)个正方形的中心的坐标和顶点的坐标都是整数，而且这些正方形的边要么与\(xy\)轴平行，要么成\(45^{\circ}\)。问正方形覆盖的面积。

solution
将平面上的每个格子用对角线分成\(4\)格，将两种正方形分别进行二维部分和，然后将部分和合并。

时间复杂度：\(O(平面大小)\)