郑轻校赛 2127 tmk射气球 （数学）

Description

有一天TMK在做一个飞艇环游世界，突然他发现有一个气球匀速沿直线飘过，tmk想起了他飞艇上有一把弓，他打算拿弓去射气球，为了提高射击的准确性，他首先在飞艇上找到一个离气球最近的一个点，然后射击（即使气球在飞船的正上方），现在求某些时刻飞艇上的点和气球的距离最小是多少（这个最小距离我们简称为飞艇到气球的距离）。

Input

第一行一个整数T(T<=20)，表示有T组测试数据

每组测试数据，有两行。

第一行有5个整数，h,x1,y1,x2,y2，其中h表示飞船的高度，飞船可抽象为一个线段，(x1,y1)(x2,y2)分别是这个线段的端点（有可能会有(x1,y1)(x2,y2)重合的情况）

第二行有6个整数，x,y,z,X,Y,Z分别表示气球的在第0秒的时候的横坐标，纵坐标，高度，一秒时间气球横坐标的变化量，一秒时间气球纵坐标的变化量，一秒时间气球高度的变化量(如果现在气球在(x0,y0,z0)下一秒坐标就为(x0+X,y0+Y,z0+Z))

第三行1个整数n，表示询问组数

接下来的n行，每行一个整数，表示询问的秒数t

题目涉及的整数除了T以外，范围均为[0,1000]

Output

每组询问输出n行，每行输出一个数，表示在t秒的时候飞艇与气球的距离最小是多少，保留两位小数

Sample Input

11 1 1 2 20 0 0 4 4 4 203

Sample Output

1.7317.92

分析：

首先了解一下这道题的思路吧，我没问你要解决的就是求三维空间中的一点到一条直线的距离，我们为你假设空间直线为：Ax+By+Cz+D=0，空间点的坐标为(x1,y1,z1),那么点到直线的距离公式就是abs( Ax1+By1+Cz1+D)/sqrt(AA+BB+CC));

但是我们也知道这条空间直线是平行于x-0-y平面的，我们可以根据映射吧这条直线和点都映射到x-o-y平面里，求出在二维空间中的点线距离，与点线在三位空间中的z轴上的差距构成直角三角形，其斜边几位所求。

还需要注意道德一点就是，我们上面所说的都是点到直线的最短距离可以根据距离公式来求出，但是飞船的位置是抽象为一条线段，如果这个点在直线的正上方的话，这个距离无疑是最短的，但是如果没有在正上方，就要取点到线段两个端点距离中的较小值。

现在我们就要判断这个点到底有没有在这条线段的正上方，应用到三角形求余弦值的公式，如果求得的余弦值为负，该角就是一个钝角，肯定没有在正上方。

上面都是说线段的斜率存在的情况，也有可能线段的斜率压根不存在，这样的话也是要考虑点在不在线正上方，在的话就是横坐标的差值，不再的话还是点到线段两个端点距离的较小值。

代码：

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int n;
        double h1,x1,y1,x2,y2;  ///飞船
        double x3,y3,z3,X,Y,Z;///气球
        int m,t;                 ///询问次数,每次的时间
        scanf("%d",&n);
        while(n--)
        {
            scanf("%lf%lf%lf%lf%lf",&h1,&x1,&y1,&x2,&y2);///飞船的相关信息
            scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x3,&y3,&z3,&X,&Y,&Z);///气球的相关信息
            double c;
            c=sqrt((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2));///抽象为飞船的两个端点间的距离，即飞船的长度
            scanf("%d",&m);
            while(m--)
            {
                scanf("%d",&t);
                int x=x3+X*t;            ///气球t秒的坐标
                int y=y3+Y*t;
                int z=z3+Z*t;
                double b,a;
                double s;
                double k,C;
                b=sqrt((x-x2)*(x-x2)+(y-y2)*(y-y2));///气球的当前位置与飞船的左端点之间的距离
                a=sqrt((x1-x)*(x1-x)+(y1-y)*(y1-y));///起球的当前位置与飞船的右端点之间的距离
                if(x2==x1)///即飞船这条线段斜率不存在的时候
                {
                    if(y>=y1&&y<=y2)///如果当前气球的位置在这条直线的上方
                        s=x-x1;///距离就是横坐标的差值
                    else
                        s=min(a,b);
                    //printf("%lf\n",s);
                }
                else
                {
                    k=(y2-y1)/(x2-x1);///飞船所在的直线的斜率
                    C=y1-k*x1;///飞船所在的直线的截距
                    double d=abs((k*x-y+C)/sqrt(k*k+1));///根据点到直线的距离公式，求得当前气球到直线的垂距
                     if(a*a+c*c<b*b||c*c+b*b<a*a)///应用三角形的余弦公式，得到这样的话相当于气球与飞船构成一个钝角三角形
                        s=min(a,b);
                    else
                        s=d;
                }
                printf("%.2lf\n",sqrt(s*s+(z-h1)*(z-h1)));
            }
        }
    }