[CF626F]Group Projects

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题目大意：

有一个长度为\(n(n\le200)\)的数列\(\{A_i\}\)，将其划分成若干个子集，每个子集贡献为子集\(\max-\min\)。求子集贡献和\(\le m(m\le1000)\)的划分方案数。

思路：

将每个数看成数轴上的点,原题中的子集贡献和就是在这些点中，每个点作为至多一个线段的端点，所有线段长度之和（同一线段的两个端点可以相同）。

考虑动态规划，将\(\{A_i\}\)排序，用\(f[i][j][k]\)表示用了前\(i\)个点，\(j\)条线段只确定了一个端点，总贡献为\(k\)的方案数。

用\(t=(A_{i+1}-A_i)\times j\)，转移方程为：

• \(f[i+1][j][k+t]+=f[i][j][k]\)（该点自己作为线段的两个端点）
• \(f[i+1][j][k+t]+=f[i][j][k]\times j\)（该点作为其它线段的一部分，但不作为端点）
• \(f[i+1][j+1][k+t]+=f[i][j][k]\)（该点作为一条线段的起点）
• \(f[i+1][j-1][k+t]+=f[i][j][k]\times j\)（该点作为某条线段的终点）

时间复杂度\(\mathcal O(n^2m)\)。

源代码：

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#include<functional>
inline int getint() {
	register char ch;
	while(!isdigit(ch=getchar()));
	register int x=ch^'0';
	while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0');
	return x;
}
typedef long long int64;
const int N=201,M=1001,mod=1e9+7;
int a[N],f[N][N][M];
int main() {
	const int n=getint(),m=getint();
	for(register int i=1;i<=n;i++) a[i]=getint();
	std::sort(&a[1],&a[n]+1);
	f[0][0][0]=1;
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		for(register int j=0;j<=n;j++) {
			const int t=(a[i+1]-a[i])*j;
			for(register int k=0;k<=m-t;k++) {
				(f[i+1][j][k+t]+=(int64)f[i][j][k]*(j+1)%mod)%=mod;
				if(j!=n) (f[i+1][j+1][k+t]+=f[i][j][k])%=mod;
				if(j!=0) (f[i+1][j-1][k+t]+=(int64)f[i][j][k]*j%mod)%=mod;
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(register int i=0;i<=m;i++) (ans+=f[n][0][i])%=mod;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}