Luogu T7468 I liked Matrix!

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无

题目描述

在一个n*m 的矩阵A 的所有位置中随机填入0 或1，概率比为x : y。令B[i]=a[i][1]+a[i][2]+......+a[i][m]，求min{B[i]}的期望，并将期望乘以(x + y)^nm 后对1e9+7取模。

输入输出格式

输入格式：

共一行包含四个整数n,m,x ,y。

输出格式：

共一行包含一个整数ans，表示期望乘以(x + y)^nm 后模1e9+7的值。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2 1 1

输出样例#1：

说明

对于20% 的数据：n,m,x,y<=3

对于40% 的数据：n,m,x,y<= 70

对于70% 的数据：n,m,x,y<=5000

对于100% 的数据：n,m,x,y<=200000

数学知识：

数学期望是试验中所有可能结果的概率乘以其结果的总和，它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的期望——期望值也许与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该变量取值的平均数，但并不一定包含在变量的输出值集合里。

在本题中，期望E =0*P(min{B[i]}=0)+1*P(min{B[i]}=1)+2*P(min{B[i]}=2)+......+m*P(min{B[i]}=m)。

题目要求将期望乘以(x + y)^nm，可以等价于：

对于矩阵中的每一个元素暴力枚举x+y 次取值，其中x 次为0，y 次为1，一共得到(x+y)^nm 个矩阵，分别计算其min{B[i]}的值并求和。

题目来源：江苏省常州高级中学在此鸣谢

题解：

20分做法：见上文数学知识中的“等价于”部分。

30，70分做法：不同的DP。（DP蒟蒻表示并不会写这个部分分QAQ）

100分做法：

预备知识：

二项分布（苏教版数学选修2-3内容）。

$\because$对于矩阵中任意一行，情况均相同，记矩阵中某行元素之和为$B$。
由二项分布知，每一个元素为0的概率为$\frac{x}{x+y}$，为1的概率为$\frac{y}{x+y}$。
$\therefore P_{B=i}=C^{m}_{i}(\frac{x}{x+y})^{m-i}\cdot(\frac{y}{x+y})^{i}$
=$\frac{C^m_i \cdot x^{m-i} \cdot y^i}{(x+y)^m}$
在$min_B=i$的情况下，对于每一行的$B$，均有$B \geq i$，$\because \exists B=i$，也就是要除去每一行的$B$都大于$i$的情况。
$\therefore P_{(min_{B}=i)}=P^n_{B \geq i}-P^n_{B>i}$
$=P^n_{B \geq i}-P^n_{b \geq i+1}$。
$\therefore E=\sum_{i=0}^{m}i \cdot P_{min_{B}=i}$
$=\sum_{i=1}^{m}i \cdot P^n_{B \geq i}-i \cdot P^n_{b \geq i+1}$
$=P^n_{B \geq 1}-P^n_{B \geq 2}+2P^n_{B \geq 2}-2P^n_{B \geq 3}+ \cdots -m \cdot P^n_{B \geq m+1}$
$\because P_{B \geq m+1}=0$
$\exists E=\sum_{i=1}^{m}P^{n}_{B \geq i}$.
又$\because P_{B \geq i}=P_{B=i}+P_{B=i+1}+ \cdots +P_{B=m}$
$\therefore E=\sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=i}^{m}P_{B=j})^{n}$
$=\sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=i}^{m}\frac{C_{m}^{j} \cdot x^{m-j} \cdot y^j}{(x+y)^m})^n$
$\therefore ans=(x+y)^{m \cdot n}\cdot E=\sum_{i=i}^{m}(\sum_{j=i}^{m}C_{m}^j \cdot x^{m-j} \cdot y^j)^n$
$\because m,x,y$给定
$\therefore $记$C_{m}^{j}x^{m-j} \cdot y^{j}=A_{j},S_{j}=\sum_{i=1}^{j}A_i$
$\therefore ans=\sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=i}^{m}C_{m}^j \cdot x^{m-j} \cdot y^j)^n$
$=\sum_{i=1}^{m}(S_{m}-S_{i-1})^n$
$O_{(n)}$预处理出$C_{m}^{i}$，随后计算$A_{i},S_{i}$，求和即可。
一道裸的数学题……

代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>

 2 #define LL long long

 3 #define f(m,j) c[j]*pow_mod(y,j)%MOD*pow_mod(x,m-j)%MOD

 4 using namespace std;

 5 const int maxn=2e5+10,MOD=1e9+7;

 6 LL fac[maxn],infac[maxn],c[maxn];

 7 LL a[maxn],s[maxn];

 8 int n,m,x,y;LL ans=0;

 9 LL pow_mod(LL a,int k)

10 {

11     LL ans=1;

12     for(;k;a=a*a%MOD,k>>=1){if(k&1){ans=ans*a%MOD;}}

13     return ans;

14 }

15 void init()

16 {

17     int i,j;

18     fac[0]=1;

19     for(i=1;i<=m;i++){fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;}

20     for(i=0;i<=m;i++){infac[i]=pow_mod(fac[i],MOD-2);}

21     for(i=0;i<=m;i++){c[i]=fac[m]*infac[i]%MOD*infac[m-i]%MOD;}

22 }

23 int main()

24 {

25     int i,j;LL tmp;

26     cin>>n>>m>>x>>y;

27     init();

28     for(i=1;i<=m;i++){a[i]=f(m,i);s[i]=(s[i-1]+a[i])%MOD;}

29     for(i=1;i<=m;i++)

30     {

31         tmp=(s[m]-s[i-1]+MOD)%MOD;

32         ans=(ans+pow_mod(tmp,n))%MOD;

33     }

34     cout<<ans;

35     return 0;

36 }