洛谷P1028.数的计算(动态规划)

题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n):

先输入一个自然数n(n≤1000),然后对此自然数按照如下方法进行处理:

1.不作任何处理;

2.在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半;

3.加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止.

输入格式

1个自然数n(n≤1000)

输出格式

11个整数，表示具有该性质数的个数。

输入输出样例

输入

输出

6

(说明/提示:满足条件的数为:6，16，26，126，36，136)　

我的分析

初看此题，顿觉简单：不就是递归嘛，穷举所有情况不就完了吗，岂能难得住我？(￣▽￣)

说时迟那是快，我三下五除二地便写出如下解法：

#include<iostream>
using namespace std;
int func(int n){
    int count=0;
    for(int i=1;i<=n/2;++i){//枚举该数左边可能的相邻数
     count += 1+fun(i);//仍是两种情况：左边无数/左边有数
    }
    return count;
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    int count=0;
    count=1+func(n); //两种情况：左边无数/左边有数
    cout<<count<<endl;
    return 0;
}

然后我信心满满地等待着AC结果，然而却显示——

◢▆▅▄▃ 崩╰(〒皿〒)╯潰 ▃▄▅▆◣大部分case都没有过，我感觉收到了此题极大的羞辱！

于是，我不得不思考更高效的解法。如上所示，之前采取的递归的思路是自上而下：我们从原数开始逐步向左推进，分析该数左边可能出现的的所有数字排列。我灵机一动，不妨换一个思路，自下而上，从 1 分析起走，如数字 1 只有 1 种情况，就是 1 本身；数字 2 有 2 种情况: 2,12 ;数字 3 有 2 种情况: 3,13 ;数字 4 有 4 种情况: 4,24,14,124 …我们不难发现，前面的情况其实可以划归为后面出现的情况的子问题，如 12=1+2,124=12+4 等等，这也就是动态规划的基本思想：将复杂问题划归为简单的子问题，最终由基准情形逐步推导出所有情形。如果我们用 dp[i] 表示由数字 i 推导出的的所有满足性质的数的数量，那么有如下递推关系式：

dp[1]=1

dp[2]=1+dp[1]=2

dp[3]=1+dp[1]=2

dp[4]=1+dp[2]+dp[1]=4

dp[5]=1+dp[2]+dp[1]=4

dp[6]=1+dp[3]+dp[2]+dp[1]=6

…

dp[i]=1+dp[1,2,3,…,j] (j=i/2)

找准了基准情形： i=1 ，列出了递推式:dp[i]=1+dp[1,2,3,…,j] (j=i/2),那么动态规划的题目就迎刃而解啦。（ノ≧∀≦）ノ

该题的最终代码非常简洁，只有以下几行：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int n; //原数
    cin>>n;
    int dp[n+1]; //dp数组记录每种子问题的情况数
    for(int i=1;i<=n;i++){//迭代以１－ｎ结尾的每一个子问题
        dp[i]=1;  //只有该数自己本身算１种情形
        for(int j=i/2;j>=1;j--){
            dp[i] += dp[j];　//加上子问题的情形数
        }
    }
    cout<<dp[n]<<endl;
    return 0;
}

现在所有情况都能AC啦！

以后暴力求解时一定要三思而后行了…