【博弈论】CF 1215D Ticket Game

题目大意

洛谷链接

给出一个长度为\(n\)的由数字组成的字符串（\(n\)是偶数）。但可能有偶数个位上的数字为?。

现在有两个人\(A\)和\(B\)，在?的位置上填\(0\)~\(9\)的数，一直到填完。

让\(A\)先手，若最后该字符串的左半边数字和等于右半边数字和 ，则\(B\)胜利，否则\(A\)胜利。

样例输入

8

?054??0?

样例输出

Bicarp

PS：更多样例和数据范围请打开原题链接吧，实在懒得粘了orz

思路

简单分情况讨论一下就可了。

设左半部分数字和为\(x\)，?的个数为\(a\)；右半部分数字和为\(y\)，?的个数为\(b\)。

• 若\(x=y\)：
  • 若\(a\not= b\)，例如100??919????，\(A\)总能操作让最后不相等。因此这种情况\(A\)必胜。
  • 若\(a=b\)，例如1??919??,\(A\)填什么\(B\)就填什么就行了，因此这种情况\(B\)必胜。
• 若\(x\not= y\)，可设\(x>y\)：
  • 若\(a\ge b\)，例如??9??111??，\(A\)可以直接一直在左半部分放9，这样右半部分永远也不可能和左半部分相等。因此这种情况\(A\)必胜。
  • 若\(a<b\)，例如?054??0?，前\(a\)个回合肯定是\(A\)一直在左半部分放9，\(B\)则维持平衡，则变成了90549?0?。此时两边的差为9，则\(A\)放任意一个数，\(B\)放另外一个相加得9的就可以了，例如90549801。但是比如?053??0?或者?055??0?，此时的\(x-y\)并不是9的倍数，分别可以改为9053990?和9055900?，\(B\)就GG了。这就类似一个取石子问题，如果\(x-y\)是9的先手的步数倍(刚好可以补齐足够的9，当然\(x-y\)太大也不行)，并且\(b-a\)是偶数（保证前\(a\)个回合后\(B\)先开始），那么就\(B\)赢，否则就是\(A\)赢。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
const char PlayerA[10]={"Monocarp"};
const char PlayerB[10]={"Bicarp"};
int n;
char s[maxn];
int x,y,a,b;

int main(){
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",s+1);//个人习惯从1开始，当然也可以从0开始（的异世界生活）

    for(int i=1; i<=n/2; i++){
        if(s[i]=='?')a++;
        else x+=s[i]-'0';
    }

    for(int i=n/2+1; i<=n; i++){
        if(s[i]=='?')b++;
        else y+=s[i]-'0';
    }

    if(x<y){//如果是小于直接调换一下左右就行了
        swap(x,y);
	swap(a,b);
    }

    if(x==y)
	puts(a==b ? PlayerB : PlayerA);
    else{
        if(a>=b)puts(PlayerA);
	else puts(((b-a)%2==0&&x-y==(b-a)/2*9) ? PlayerB : PlayerA);
    }
	return 0;
}

补充

取石子问题介绍（链接来自网络博客）