知识点简单总结——Lyndon分解
知识点简单总结——Lyndon分解
Lyndon串
定义:一个字符串的最小后缀就是整个串本身。
等效理解:这个串为其所有循环表示中最小的。
Lyndon分解
定义:将字符串分割为 $ s_{1} s_{2} ... s_{k} $ 任意段使得每一段都是Lyndon串且 $ \forall i < j , s_{i} \ge s_{j} $ 。
引理一:若 $ u < v $ 且 $ u , v $ 均为Lyndon串,则 $ uv $ 为Lyndon串。
关于证明,它咕了。
引理二:Lyndon分解存在且唯一。
存在性:全部分成单个字符后利用引理一合并。
唯一性:假设存在两种Lyndon分解分别为
$ s_1 s_2 ... s_{i} s_{i+1} ... $
$ s_1 s_2 ... s_{i} ' s_{i+1} ' ... $
不妨设 $ | s_{i} | > | s_{i} ' | , s_{i} = s_{i} ' s_{i+1} ' ... s_{k} ' [ 1...l ] $ , 其中 $ s_{k} ' [ 1...l ] $ 为这这一部分串的非空前缀。
有 $ s_{i} < s_{k} ' [ 1...k ] \le s_{k} ' \le s_{i} ' < s_{i} $ ,矛盾。
引理三:若有字符串 $ v $ ,字符$ c , d $ , $ d > c $ ,且 $ vc $ 为一个Lyndon串的前缀,则有 $ vd $ 为Lyndon串。
关于证明,它也咕了。
求Lyndon分解
可以用单调栈或者后缀数组啥的,但是复杂度不够好。
Duval算法
维护三个指针 $ i,j,k $
表示 $ s [ 1 , i - 1 ] $ 已经划分完了
$ s [ i , k - 1 ] $ 是一个Lyndon串 $ t $ 的周期循环 $ t^{g} + v $ ( $ v $ 是 $ t $ 的前缀)周期 $ t = k - j $ ,且保证 $ s [ i , k - 1 ] $ 小于前面已经划分好的串。
分情况讨论:
$ s[k] == s[j] $ :周期不变, $ j++ , k++ $ 。
$ s[k] > s[j] $ :根据引理三可知 $ v + s[k] $ 是Lyndon串,向前合并使得 $ s[i,k] $ 变成新的Lyndon循环节, $ j=i , k++ $ 。
$ s[k] < s[j] $ :将循环节逐个固定成划分结果。
以下是洛谷P6114 【模板】Lyndon 分解的代码。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace RKK
{
char s[5000011];int n;
int prt[5000011],pc;
int main()
{
scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
int i=1,j,k,ans=0;while(i<=n)
{
for(j=i,k=i+1;k<=n&&s[k]>=s[j];k++) s[k]>s[j]?j=i:j++;
while(i<=j) ans^=i+k-j-1,prt[++pc]=i+k-j-1,i+=k-j;
}
printf("%d\n",ans);
// for(int i=1;i<=pc;i++) printf("%d ",prt[i]);putchar('\n');
return 0;
}
}
int main(){return RKK::main();}
应用:
我基本没看到过用Lyndon分解的题。
随便来一个:CF594E Cutting the Line
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