CF1204E Natasha, Sasha and the Prefix Sums （卡塔兰数推理）

题面

题解

把题意变换一下，从（0,0）走到（n,m），每次只能网右或往上走，所以假设最大前缀和为f(n)，那么走的时候就要到达但不超过 y = x-f(n) 这条线，

我们可以枚举答案，然后乘上方案数。

根据卡塔兰数的通项公式公式的推导过程， 可以得出方案数的解法，

对于这道题的图中，求碰到过红线的方案数则是把第一次碰到红线后的步骤都沿红线轴对称折叠过去，那么就唯一对应一个从(0,0)走到(m+f(n),n-f(n))的方案，方案数就为C(n+m,n-f(n)) （这里是组合数）

我们再容斥一小下，刚好只走到y=x-f(n)的方案数等于碰到过y=x-f(n)的方案数减去碰到过y=x-f(n)-1的方案数，为C(n+m,n-f(n)) - C(n+m,n-f(n)-1)，

CODE

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define MAXN 2005
#define MAXM 35
#define ENDL putchar('\n')
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x)&(x))
//#define int LL
using namespace std;
inline LL read() {
	LL f = 1,x = 0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-')f = -1;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x = x * 10 + (s - '0');s = getchar();}
	return x * f;
}
const int jzm = 998244853;
int n,m,i,j,s,o,k;
int C[MAXN<<1][MAXN<<1];
int main() {
	C[0][0] = 1;
	for(int i = 1;i <= 4000;i ++) {
		C[i][0] = 1;
		for(int j = 1;j <= i;j ++) {
			C[i][j] = (C[i-1][j] +0ll+ C[i-1][j-1]) % jzm;
		}
	}
	n = read();m = read();
	int ans = 0,pre = 0,no = 0;
	for(int i = n;i >= max(1,n-m);i --) {
		no = C[n+m][n-i];
		ans = (ans +0ll+ (no +0ll+ jzm - pre) % jzm *1ll* i % jzm) % jzm;
		pre = no;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}