线段树套线性基——题解P4839 P哥的桶

文章历史

2022-08-03: 文章初稿，由于对算法介绍过于少而被管理员打回重造。

2020-08-06：将算法介绍进行扩写，并删除了一些可有可无的内容或玩梗内容。

管理员审核题解辛苦了。

简要题意

（这道题描述是真的长）

你需要维护一个数据结构，支持单点异或和区间求最大异或和。

思路

思维过程

对于这种区间问题，最容易想到的就是线段树。

而对于复杂的异或问题，最容易想到的就是线性基。

合在一起，就是线段树套线性基，类似经典的树套树。

详细思路

线段树大家应该都会，如果不会建议学习一下，这是一个很有用的数据结构。

线性基大家应该都会，如果不会可以看 这篇博客。

首先，每一个线段树节点，都保存一个线性基。（单个线性基空间复杂度为 \(O(\log\max\{x\})\)，是可以接受的，不用担心会MLE）

首先，对于修改操作，我们不方便 \(\operatorname{pushup}\)，那么我们可以想到一个更好的方法：就是我们线段树DFS到的每一个区间节点都包含着修改值，那么我们考虑像权值线段树那样，经过一个点都把修改的元素插入节点线性基。

查询，我们可以考虑实现一个操作 \(\operatorname{expand}\)，表示用一个新的线性基扩展原来的线性基（说人话：将另一个线性基的所有元素都插入原来的线性基）

\(\operatorname{expand}\) 操作有一个简单有效的优化常数的方法，就是遍历线性基数组时，仅插入非 \(0\) 值。

然后，我们就可以像经典的线段树那样实现，只不过将维护信息并的运算符换成 \(\operatorname{expand}\) 即可。

（注：有的同学可能习惯将我的 \(\operatorname{expand}\) 操作换成类似线性基加法的 \(\operatorname{merge}\)，这一点看大家个人喜好）

时间复杂度 \(O(n\log m\log^{2}\max\{x\})\)，空间复杂度 \(O(n\log\max\{x\})\)，可以通过本题。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

namespace Basis{
	const int MAX_BIT = 60;
	struct Basis{
		int p[MAX_BIT+5];
		int _how_many_numbers_can_xor;
		void clear(){
			memset(p,0,sizeof(p));
			_how_many_numbers_can_xor=0;
		}
		Basis(){
			clear();
		}
		void insert(int x){
			for(int i=MAX_BIT;i>=0;i--){
				if(!(x>>i))continue;
				if(!p[i]){
					p[i]=x;
					_how_many_numbers_can_xor++;
					break;
				}
				x^=p[i];
			}
		}
		int max_xor(){
			int ans=0;
			for(int i=MAX_BIT;i>=0;i--){
				if((ans^p[i])>ans){
					ans^=p[i];
				}
			}
			return ans;
		}
		bool can_be_xor(int x){
			for(int i=MAX_BIT;i>=0;i--){
				if(x&(1ll<<i))x^=p[i];
			}
			return x==0;
		}
		int numbers_can_xor(){
			return (1ll<<_how_many_numbers_can_xor);
		}
		void expand(Basis &x){
			for(int i=MAX_BIT;i>=0;i--){
				if(x.p[i]){
					insert(x.p[i]);
				}
			}
		}
	};
}

namespace sgt{
	Basis::Basis t[200005];
	void update(int x,int v,int i,int l,int r){
		t[i].insert(v);
		if(l==r){
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		if(x<=mid){
			update(x,v,i<<1,l,mid);
		}
		else{
			update(x,v,i<<1|1,mid+1,r);
		}
	}
	Basis::Basis result;
	void query(int ql,int qr,int i,int l,int r){
		if(ql<=l&&qr>=r){
			result.expand(t[i]);
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		if(ql<=mid){
			query(ql,qr,i<<1,l,mid);
		}
		if(qr>mid){
			query(ql,qr,i<<1|1,mid+1,r);
		}
	}
}

int n,m;

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	while(n--){
		int op,a,b;
		cin>>op>>a>>b;
		if(op==1){
			sgt::update(a,b,1,1,m);
		}
		else{
			sgt::result.clear();
			sgt::query(a,b,1,1,m);
			cout<<sgt::result.max_xor()<<'\n';
		}
	}
	return 0;
}

加强版：P5607 [Ynoi2013] 无力回天 NOI2017

如果将单点修改变成区间修改，那么应该如何处理呢？可以思考一下。（提示：想想差分）

P5607 [Ynoi2013] 无力回天 NOI2017 题解