That Nice Euler Circuit UVALive - 3263 || 欧拉公式

欧拉定理：

简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系有著名的欧拉公式：V-E+F=2。

设G为任意的连通的平面图，则v-e+f=2，v是G的顶点数，e是G的边数，f是G的面数。（引）

证明(?)

这题的做法就是模拟画线的过程，统计出画每一条线时与之前所有线的交点，将所有交点记录下来，将每一个顶点也记录下来。然后将点去重，得到点数。然后统计每一条线上有几个点，那么这条线就被分成了点数+1段，这样得到边数。最后根据公式算出面数。

 #include<cstdio>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 namespace X
 {
     const double eps=1e-;
     struct Point
     {
         double x,y;
         Point(double x=,double y=):x(x),y(y){}
     };
     typedef Point Vec;
     Vec operator+(const Vec& a,const Vec& b)
     {
         return Vec(a.x+b.x,a.y+b.y);
     }
     Vec operator-(const Vec& a,const Vec& b)
     {
         return Vec(a.x-b.x,a.y-b.y);
     }
     Vec operator*(const double& a,const Vec& b)
     {
         return Vec(a*b.x,a*b.y);
     }
     Vec operator*(const Vec& a,const double& b)
     {
         return Vec(b*a.x,b*a.y);
     }
     Vec operator/(const Vec& a,const double& b)
     {
         return Vec(a.x/b,a.y/b);
     }
     int dcmp(double x)
     //正为1，负为-1，0为0
     {
         if(fabs(x)<eps)    return ;
         return x<?-:;
     }
     bool operator<(const Vec& a,const Vec& b)
     //人为规定的优先级
     {
         return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);
     }
     bool operator==(const Vec& a,const Vec& b)
     //判向量相等
     {
         return dcmp(a.x-b.x)==&&dcmp(a.y-b.y)==;
     }
     double dot(const Vec& a,const Vec& b)
     //点积
     {
         return a.x*b.x+a.y*b.y;
     }
     double cross(const Vec& a,const Vec& b)
     //叉积
     {
         return a.x*b.y-a.y*b.x;
     }
     double len(const Vec& x)
     //向量长度
     {
         return sqrt(dot(x,x));
     }
     double angle(const Vec& a,const Vec& b)
     //夹角，0~180°
     {
         return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b));
     }
     double angle1(const Vec& a,const Vec& b)
     //夹角，带方向，a到b逆时针为正，顺时针为负，共线为0
     {
         return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b))*(dcmp(cross(a,b)));
     }
     Vec rotate(const Vec& a,const double& rad)
     //旋转，正为逆时针，负为顺时针
     {
         return Vec(a.x*cos(rad)-a.y*sin(rad),a.x*sin(rad)+a.y*cos(rad));
     }
     Vec normal(const Vec& x)
     //单位法线，左转90°后除以自身长度
     {
         double l=len(x);
         return Vec(-x.y/l,x.x/l);
     }
     Vec normal1(const Vec& x)
     //法线，不归一化
     {
         return Vec(-x.y,x.x);
     }
     Point lineline(const Point& p,const Vec& v,const Point& q,const Vec& w)
     //直线交点,GetLineIntersection
     {
         return p+v*cross(w,p-q)/cross(v,w);
     }
     double ptline(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
     //point_to_line,点到直线距离,DistanceToLine
     {
         Vec v1=b-a,v2=p-a;
         return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
     }
     double ptseg(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
     //point_to_segment,点到线段距离,DistanceToSegment
     {
         if(a==b)    return len(p-a);
         //Vec v1=b-a,v2=a-p,v3=p-b;
         Vec v1=b-a,v2=p-a,v3=p-b;
         if(dcmp(dot(v1,v2))<)    return len(v2);
         else if(dcmp(dot(v1,v3))>)    return len(v3);
         else return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
     }
     double area2(const Point& a,const Point& b,const Point& c)
     //叉积对应平行四边形的面积
     {
         return cross(b-a,c-a);
     }
     double thrarea(const Point& a,const Point& b,const Point& c)
     //三角形面积，绝对值
     {
         return fabs(cross(b-a,c-a)/);
     }
     bool ifpar(const Vec& a,const Vec& b)
     //ifParallel
     //是否共线/平行
     {
         return dcmp(cross(a,b))==;
     }
     Point pointline(const Point& p,const Point& a,const Vec& v)
     //点在直线上投影,GetLineProjection
     {
         return a+v*(dot(p-a,v)/dot(v,v));
     }
     bool ifsegseg(const Point& a1,const Point& a2,const Point& b1,const Point& b2)
     //SegmentProperIntersection,线段相交判定，不包含端点，不允许共线。有交点时求交点直接用直线交点即可
     //此处就是求两条线段的两个端点是否都分别在另一条线段的两侧
     {
         double c1=cross(a2-a1,b1-a1),c2=cross(a2-a1,b2-a1),
             c3=cross(b2-b1,a1-b1),c4=cross(b2-b1,a2-b1);
         return dcmp(c1)*dcmp(c2)<&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<;
     }
     bool ifonseg(const Point& p,const Point& a1,const Point& a2)
     //OnSegment,点是否在线段上
     //这样就能判定向量p a1与p a2共线，且方向相反
     {
         return dcmp(cross(a1-p,a2-p))==&&dcmp(dot(a1-p,a2-p))<;
     }
     bool ifsegseg1(const Point& a1,const Point& a2,const Point& b1,const Point& b2)
     //线段相交判定，包含端点，允许共线
     {
         double c1=cross(a2-a1,b1-a1),c2=cross(a2-a1,b2-a1),
             c3=cross(b2-b1,a1-b1),c4=cross(b2-b1,a2-b1);
         return (dcmp(c1)*dcmp(c2)<&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<)||
         (dcmp(c1)==&&dcmp(c2)==)||ifonseg(a1,b1,b2)||
         ifonseg(a2,b1,b2)||ifonseg(b1,a1,a2)||ifonseg(b2,a1,a2);
     }
     double polyarea(Point p[],int n)
     //PolygonArea,有向面积，要求点按顺序能组成多边形（不会边相交，可以凹），如果顺时针转就是负，逆时针就是正（未验证）
     {
         double ans=;
         for(int i=;i<n-;i++)
             ans+=cross(p[i]-p[],p[i+]-p[]);
         return ans/;
     }
 };
 using namespace X;
 Point p[];
 Point p2[];
 int n,v,e,T;
 int main()
 {
     int i,j;
     scanf("%d",&n);
     while(n!=)
     {
         v=;e=n-;
         scanf("%lf%lf",&p[].x,&p[].y);
         p2[++v]=p[];
         for(i=;i<=n;i++)
         {
             scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);p2[++v]=p[i];
             for(j=;j<=i-;j++)
             {
                 if(ifsegseg(p[i-],p[i],p[j],p[j+]))
                     p2[++v]=lineline(p[i-],p[i]-p[i-],p[j],p[j+]-p[j]);
             }
         }
         sort(p2+,p2+v+);
         v=unique(p2+,p2+v+)-p2-;
         for(i=;i<n;i++)
             for(j=;j<=v;j++)
                 if(ifonseg(p2[j],p[i],p[i+]))
                     e++;
         printf("Case %d: There are %d pieces.\n",++T,e+-v);
         scanf("%d",&n);
     }
     return ;
 }