POJ 3177 Redundant Paths (边双连通+缩点)

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题目大意：

有n个牧场，Bessie 要从一个牧场到另一个牧场，要求至少要有2条独立的路可以走。现已有m条路，求至少要新建多少条路，使得任何两个牧场之间至少有两条独立的路。两条独立的路是指：没有公共边的路，但可以经过同一个中间顶点。

解题分析：

在同一个边双连通分量中，任意两点都有至少两条独立路可达，所以同一个边双连通分量里的所有点可以看做同一个点。

缩点后，新图是一棵树，树的边就是原无向图的桥。

现在问题转化为：在树中至少添加多少条边能使图变为双连通图。

结论：添加边数=（树中度为1的节点数+1）/2

具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 5e3+ , M = 1e4+;
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
struct Edge{
    int to,next;
}edge[M<<];

int head[N],low[N],dfn[N],belong[N],deg[N],stk[N],instk[N];
int n,m,tot,cnt,top,scc;
void addEdge(int u,int v){
    edge[tot].to=v,edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void init(){
    tot=cnt=top=scc=;
    clr(head,-);clr(low,);clr(dfn,);clr(instk,);clr(deg,);
}
void Tarjan(int u,int fa){
    low[u]=dfn[u]=++cnt;
    stk[++top]=u;instk[u]=;
    for(int i=head[u];~i;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        if(i==(fa^))continue;   //不能用搜索树上的边来更新low值，这种写法能够用来处理重边的情况
        if(!dfn[v]){
            Tarjan(v,i);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(instk[v])      //此时栈里的所有元素均属于同一边双连通分量,找连通分量的根的时候一定要规定这点，否则可能会与其他连通分量的dfn比较
            low[u]=min(low[u],dfn[v]);     //low值全部等于该双连通分量中最先遍历的点dfn值
    }
    if(dfn[u]==low[u]){
        ++scc;
        while(true){
            int v=stk[top--];
            instk[v]=;
            belong[v]=scc;   //将该联通块中的所有点全部缩点染色
            if(v==u)break;
        }
    }
}
int main(){
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        init();
        for(int i=;i<=m;i++){
            int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
            addEdge(u,v),addEdge(v,u);
        }
        Tarjan(,-);
        for(int i=;i<=n;i++){
            for(int j=head[i];j!=-;j=edge[j].next){
                int v=edge[j].to;
                if(belong[i]!=belong[v])
                    deg[belong[i]]++;      //求出缩点后每个点的度
            }
        }
        int sum=;
        for(int i=;i<=scc;i++)if(deg[i]==)sum++;  //寻找度为1的叶子节点
        int ans=(sum+)/;
        printf("%d\n",ans);
    }
}

2018-11-07