BZOJ 5467 Slay the Spire

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• 我的概率基础也太差了.jpg

大概就是这样，因为强化牌至少翻倍，所以打出的牌必定是全部的强化牌或者$k-1$个强化牌，然后剩余的机会打出最大的几个攻击牌。

我们对于强化牌和攻击牌分别做，并且显然，排序并不会影响答案。

$f[i][j]$表示前$i$张牌，取到$j$张，第$i$张必定取的最大强化值之积，$g[i][j]$表示前$i$张攻击牌，取到$j$张，第$i$张必定取的最大伤害和。（一般来说，应该先考虑第$i$张不必需取的最大值，但是由于那样设计状态并不能优化成$n^2$，所以只能选择第$i$张必须选的答案）

$f[i][j]=a_i\times \sum\limits_{k=j-1}^{i-1} f[k][j-1]$

$g[i][j]=C(i-1,j-1)\times b_i+\sum\limits_{k=j-1}^{i-1} g[k][j-1]$

然后剩下的就是如何计算答案了。

那么很显然，我们要求的是前$n$张排中，选择$j$个，第$n$个不必需选择的答案。

因此设$F(i,j)$表示摸到$i$张，选择$j$个的最大强化之积。那么很显然，$F(i,j)=\sum\limits_{k=i}^nf[k][j]\times C(n-k,i-j)$

同时设$G(i,j)$表示摸到$i$张，选择$j$个的最大伤害之和。那么很显然，$G(i,j)=\sum\limits_{k=i}^n g[k][j]\times C(n-k,i-j)$

同样，根据我们最初得到的结论，$ans=\sum\limits_{i=0}^{k-1}F(i,i)\times G(m-i,k-i)+\sum\limits_{i=k}^m F(i,k-1)\times G(m-i,1)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <iostream>
#include <bitset>
using namespace std;
#define N 3005
#define ll long long
#define mod 998244353
int f[N][N],g[N][N],n,k,a[N],b[N],m,sum[N],C[N][N];
void init()
{
    for(int i=0;i<=3000;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
}
int F(int x,int y)
{
    if(x<y)return 0;if(!y)return C[n][x];int ret=0;
    for(int i=x-y+1;i<=n-y+1;i++)ret=(ret+(ll)f[y][i]*C[i-1][x-y])%mod;
    return ret;
}
int G(int x,int y)
{
    if(x<y)return 0;int ret=0;
    for(int i=x-y+1;i<=n-y+1;i++)ret=(ret+(ll)g[y][i]*C[i-1][x-y])%mod;
    return ret;
}
void solve()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    // memset(f,0,sizeof(f));memset(g,0,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++)
            f[i][j]=g[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i]);
    sort(a+1,a+n+1);sort(b+1,b+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)f[1][i]=a[i],sum[i]=(sum[i-1]+a[i])%mod;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++)f[i][j]=(ll)a[j]*(sum[n]-sum[j]+mod)%mod;
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++)sum[j]=(sum[j-1]+f[i][j])%mod;
        for(int j=n-i+2;j<=n;j++)sum[j]=sum[j-1];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)g[1][i]=b[i],sum[i]=(sum[i-1]+b[i])%mod;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++)g[i][j]=((ll)b[j]*C[n-j][i-1]+sum[n]-sum[j]+mod)%mod;
        for(int j=1;j<=n-i+1;j++)sum[j]=(sum[j-1]+g[i][j])%mod;
        for(int j=n-i+2;j<=n;j++)sum[j]=sum[j-1];
    }
    int ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        if(i<k)ans=(ans+(ll)F(i,i)*G(m-i,k-i))%mod;
        else ans=(ans+(ll)F(i,k-1)*G(m-i,1))%mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){init();int T;scanf("%d",&T);while(T--)solve();return 0;}