质因数分解的rho以及miller-rabin

一、前言

质因数分解，是一个在算法竞赛里老生常谈的经典问题。我们在解决许多问题的时候需要用到质因数分解来辅助运算，而且质因数分解牵扯到许许多多经典高效的算法，例如miller-rabin判断素数算法，rho启发式搜索质因数分解算法等。在此文里，我要介绍的就是miller-rabin算法以及rho启发式搜索分解算法。

二、算术基本定理

首先，我们得知道，任意一个大于1的自然数都可以分解为有限个质数的乘积。这里因子均为质数，且为正整数。我们把这样的分解成为N的标准分解式。关于算数基本定理的应用有许多，例如可以证明素数无限，定义god,lcm等，在此不一一赘述。有了算数基本定理，我们可以发现计算数论函数，约数和等都是十分方便的，这大大的方便了我们的解题。接下来我们介绍如何来分解质因数。

三、质因数分解的算法

所谓质因数，是某自然数的因素而且这个因素还得是质数。

我们不难想到基本的枚举，即暴力枚举1~n所有数，判断是否能够被n整除且该数是否为质数。大概代码如下：

For i:=1 to n do

If n mod i=0 then

If check(i) then  //check为检验i是否为质数的子函数，返回值为boolean

Writeln(i);

Function check(n:longint):boolean;

Var i:longint;

begin

For i:=2 to n do

If n mod i=0 then exit(false); //如果一旦有比它小的数除他为0，那么该数不为质数

Exit(true); //否则显然为质数

End;

这个是最朴素的方法，虽然代码简洁思路简单，但是时间复杂度实在是太高了。

于是我们有了优化1，我们发现判断一个数是否为素数只需枚举到sqrt(i)，为何呢？因为一个数若不是素数，那么它必定是两个数的乘积，这两个数显然有一个小于等于sqrt(i)，否则sqr(sqrt(i))=i，那么显然为质数。

Function check(n:longint):boolean;

Var i:longint;

Begin

For i:=2 to sqrt(n) do  If n mod i=0 then exit(false);

Exit(true);

End;

但是我们发现时间复杂度还是比较高O(sqrt(n)*n)

于是我们有了优化2。我们不暴力判断n的每个因素，而是不断去试除。

何谓试除？设x是n的质因数，我们在分解的过程中每找到一个x就把它记录下来，并且让n:=n div x;那么我们在遇见x的倍数时，显然不可能会再有x的倍数了。那么我们就能通过“类似筛法”的思想，在O(sqrt(n))时间内，对n进行质因数分解，这也是现在比较常用的方法。

I:=2;

While n<>1 do

Begin

While n mod i=0 do

Begin

Writeln(i);

N:=n div i;

End;

Inc(i);

End;

我们在不断的div i中，我们把i的所有存在于n的因素里的倍数全部给丢掉了。

（即，n=12时，n=2*2*3=3*4 那么我们在i=2的时候，把4给筛掉了。）

在这里，我们发现每个i都会是质数，即i的变化总是2→3→5→7.......

于是我们有了优化3。如果我们能预先存储不大于sqrt(n)的所有质数，我们就可以快速调用了，不要小看这个优化，在n的质因数比较大的时候，O(n)的线性时间是我们耗费不起的。先来说下筛法（摘自百度百科）

用筛法求素数的基本思想是：把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列， 1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。如有：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

1不是素数，去掉。剩下的数中2最小，是素数，去掉2的倍数，余下的数是：

3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

剩下的数中3最小，是素数，去掉3的倍数，如此下去直到所有的数都被筛完，求出的素数为：

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

procedure get(n:longint);  //Get函数为利用筛法求素数

var maxfactor,newp:longint;

begin

maxfactor:=trunc(sqrt(n));

fillchar(hash,sizeof(hash),true);

for i:=2 to maxfactor do

if hash[i] then

begin

newp:=i shl 1;  //等价于newp:=i*2;

while newp<n do

begin

hash[newp]:=false;

inc(newp,i);

end;

end;

hash[1]:=false;

for i:=2 to n do

if hash[i] then

begin

inc(sushut);

sushu[sushut]:=i;

end;

end;

procedure solve(n:longint);   inline;

var i:longint;

begin

i:=1;

while sushu[i]<=n do

begin

tot:=0;

if sushu[i]=0 then break;

while n mod sushu[i]=0 do

begin

n:=n div sushu[i];

inc(tot);

if tot=1 then

begin

inc(ans);

sum[ans].number:=sushu[i];

end;

sum[ans].k:=tot;

end;

if sushu[i]=2 then fuck:=tot;

inc(i);

end;

end;

可是这样的复杂度在n为超大整数类型且素因子十分大的时候也无能为力了，不仅会MLE，更会TLE。那么，我们来说一下这次的重头戏，也就是rho分解大法。

我们必须知道Fermat分解：

首先，对于任意的一个偶数，我们都可以提取出一个2的质因子，如果结果仍为偶数，则可继续该操作，直至将其化为一个奇数和2的多少次幂的乘积，那么我们可以假定这个奇数可以被表示成2*N+1，如果这个数是合数，那么一定可以写成N=c*d的形式，不难发现，式中的c和d都是奇数，不妨设c>d，我们可以令a=(c+d)/2,b=(c-d)/2，那么的可以得到N=a*a-b*b，而这正是Fermat整数分解的基础；由不等式的关系，我们又可以得到a>=sqrt(c*d)=sqrt(N)，那么，我们就可以枚举大于N的完全平方数a*a，计算a*a-N的值，判断计算的结果是否为一个完全平方数，如果是，那么a，b都是N的因子，我们就可以将算法递归的进行下去，知道求出N的所有质因子。容易看出，Fermat分解大数的效率其实并不高，但是比起试除法要好了很多；而且每次的计算都是计算出N的一个因子，更加降低了其效率。这就让我们想着去尝试新的算法，那就是Pollard rho算法。

Pollard rho算法的原理就是通过某种方法得到两个整数a和b，而待分解的大整数为n，计算p=gcd(a-b,n)，直到p不为1，或者a，b出现循环为止。然后再判断p是否为n，如果p=n成立，那么返回n是一个质数，否则返回p是n的一个因子，那么我们又可以递归的计算Pollard(p)和Pollard(n/p)，这样，我们就可以求出n的所有质因子。

具体操作中，我们通常使用函数x2=x1*x1+c来计算逐步迭代计算a和b的值，实践中，通常取c为1，即b=a*a+1，在下一次计算中，将b的值赋给a，再次使用上式来计算新的b的值，当a，b出现循环时，即可退出进行判断。

在实际计算中，a和b的值最终肯定一出现一个循环，而将这些值用光滑的曲线连接起来的话，可以近似的看成是一个ρ型的。

对于Pollard rho，它可以在O(sqrt(p))的时间复杂度内找到n的一个小因子p，可见效率还是可以的，但是对于一个因子很少、因子值很大的大整数n来说，Pollard rho算法的效率仍然不是很好，那么，我们还得寻找更加的方法了。

有了上述预备知识还不够，我们还得知道miller-robin素性检验。

根据费马小定理，

若n是一个奇素数，a是任何整数(1≤ a≤n-1) ，则 a^(n-1)≡1(mod n)。

miller-robin的理论基础：

如果n是一个奇素数， 将n-1表示成2^s*r的形式(r是奇 数)，a 是和n互素的任何整数， 那么ar≡1(mod n) 或者对某个j(0≤j ≤s －1， j∈Z) 等式 a2jr ≡－1(mod n)成立。 这个理论是通过一个事实经由Fermat定理推导而来： n是一个奇素数，则方程x2 ≡ 1 mod n只有±1两个解。

注意，miller-rabin算法只是一种素性判断的概率算法，关于miller-rabin，pascal贴吧里应该有相关的帖子介绍，而miller-rabin的判断错误的概率是相当低的，(0.25)^t，t为素性测试的轮数。Miller-rabin算法在Int64范围内无法解决的强伪素数特殊判断一下即可。

接下来我们上代码：（我没找到Pas的，于是自己写了一份很丑的Pas代码，大神勿喷）

const count=10;

pri:array [0..10] of longint=(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31);

var n,total:int64;

i:longint;

ans:array [0..10000] of int64;

function multi(a,b,m:int64):int64;

//考虑到64位二进制数能表示的范围，只需取前9个素数为基

var ans:int64;

begin

ans:=0;

a:=a mod m;

while b<>0 do

begin

if (b and 1)=1 then

begin

ans:=(ans+a) mod m;

dec(b);

end;

b:=b>>1;

a:=(a+a) mod m;

end;

exit(ans);

end;

function gcd(x,y:int64):int64;

begin

if x mod y=0 then

exit(y)

else exit(gcd(y,x mod y));

end;

function quick_mod(a,b,m:int64):int64;

var ans:int64;

begin

ans:=1; a:=a mod m;

while b<>0 do

begin

if (b and 1)=1 then

begin

ans:=multi(ans,a,m);

dec(b);

end;

b:=b>>1;

a:=multi(a,a,m);

end;

exit(ans);

end;

function prime(n:int64):boolean;

var m,k,a,x,y:int64; i,j:longint;

begin

if n=2 then exit(true);

if (n<2) or ((n and 1)=0) then exit(false);

m:=n-1; k:=0;

while (m and 1)=0 do

begin

inc(k);

m:=m>>1;

end;

randomize;

for i:=0 to count do

begin

a:=random(n) mod (n-1)+1;

x:=quick_mod(a,m,n);

y:=0;

for j:=0 to k-1 do

begin

y:=multi(x,x,n);

if (y=1) and (x<>1) and (x<>n-1) then exit(false);

x:=y;

end;

if y<>1 then exit(false);

end;

exit(true);

end;

function pollard_rho(n,c:int64):int64;

var i,k,x,y,d:int64;

begin

i:=1; k:=2;

randomize;

x:=random(n) mod (n-1)+1;

y:=x;

while true do

begin

inc(i);

x:=(multi(x,x,n)+c) mod n;

d:=gcd(y-x,n);

if (d>1) and (d<n) then exit(d);

if (x=y) then exit(n);

if (i=k) then

begin

y:=x;

k:=k<<1;

end;

end;

end;

procedure find(n,c:int64);

var p,k:int64;

begin

if n=1 then exit;

if prime(n) then

begin

inc(total);

ans[total]:=n;

exit;

end

else

begin

p:=n;

k:=c;

randomize;

while p>=n do

begin

p:=pollard_rho(p,c);

dec(c);

end;

find(p,k);

find(n div p,k);

end;

end;

begin

read(n);

find(n,120);

for i:=1 to total do

writeln(ans[i]);

end.

至此，我们在Int64范围内解决了质因数分解的若干问题。