题目链接:https://nanti.jisuanke.com/t/A1108

这道题还挺有意思的。让我对Floyd的了解又加深了一点。

首先我们重新审视Floyd这三重循环到底有什么用?第一层是枚举中间结点,第二三层是枚举路径起点和终点。那么是不是当第一层循环还没枚举到的点,此时的最短路就不会经过这这些点呢?

答案是肯定的。所以这道题也就可以做了。

题目是要求我们计算  第一层循环缺一个点的情况下  的所有最短路之和。我们当然可以枚举这个缺的点,那么时间复杂度是O(n^4)。不能接受。

那么我们可以反过来考虑不是缺点,而是考虑逐渐加点,逐渐加到缺一个点的情况然后更新答案。于是我们可以分治,分治的过程就是加点的过程。

solve(l,r)代表除了区间[l,r]的点其他点都加到最短路了,那么分治到l==r的时候就可以统计答案了。

时间复杂度O(n^2*logn)。细节详见代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e2+;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,a[N][N];
long long ans; void solve(int l,int r) {
if (l==r) {
for (int i=;i<=n;i++) for (int j=;j<=n;j++)
if (i!=l && j!=l)
if (a[i][j]>=INF) ans+=-; else ans+=a[i][j];
return;
}
int mid=l+r>>; int b[N][N];
memcpy(b,a,sizeof(a));
for (int k=mid+;k<=r;k++)
for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=n;j++)
a[i][j]=min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]);
solve(l,mid); memcpy(a,b,sizeof(b));
for (int k=l;k<=mid;k++)
for (int i=;i<=n;i++)
for (int j=;j<=n;j++)
a[i][j]=min(a[i][j],a[i][k]+a[k][j]);
solve(mid+,r);
} int main()
{
cin>>n;
for (int i=;i<=n;i++) for (int j=;j<=n;j++) {
scanf("%d",&a[i][j]);
if (a[i][j]==-) a[i][j]=INF;
}
solve(,n);
cout<<ans<<endl;;
return ;
}

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