[bzoj3813] 奇数国 [线段树+欧拉函数]
题面
思路
这题目是真的难读......阅读理解题啊......
但是理解了以后就发现,题目等价于:
给你一个区间,支持单点修改,以及查询一段区间的乘积的欧拉函数值,这个答案对19961993取模
这里是欧拉函数的原因显然,题目中的那个不相冲实际上就是扩展欧几里得里面的那个定理,要满足不相冲(也就是方程有解),$product$和$number$必须互质
序列当中,每个元素大小不超过1e6,质因数都是前60个
那么我们显然可以开一棵线段树来维护这个区间乘积,但是怎么处理欧拉函数呢?$O(\sqrt{n})$的复杂度求吗?但是这题可以到$1000000^{100000}$诶......
没关系,我们来看一个神秘小技巧
设一个数$x=\prod_{i=1}{k}p_i{a_i}$,那么:
$\varphi(x)=\prod_{i=1}{k}(p_i-1)p_i{a_i-1}=x\prod_{i=1}^{k}\frac{p_i-1}{p_i}$
那么我们再开一棵线段树,把60个质因数在对应区间里的出现情况压进一个long long里面
每次查询的时候,查询出来取模过的乘积,再对每个出现过的质因数乘上模意义下的$\frac{p_i-1}{p_i}$,就是答案了
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#define ll long long
#define mp make_pair
using namespace std;
inline int read(){
int re=0,flag=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){
if(ch=='-') flag=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
return re*flag;
}
const ll MOD=19961993;
ll qpow(ll a,ll b){
ll re=1ll;
while(b){
if(b&1) re=re*a%MOD;
a=a*a%MOD;b>>=1;
}
return re;
}
int vis[310],pri[70],cntp,inv[70];
void init(){
int i,j,k;vis[1]=1;
for(i=2;i<=281;i++){
if(!vis[i]) pri[++cntp]=i,inv[cntp]=qpow(i,MOD-2);
for(j=1;j<=cntp;j++){
k=i*pri[j];if(k>281) break;
vis[k]=1;
if(i%pri[j]==0) break;
}
}
}
ll a[400010],bit[400010];//a是乘积,b是压位的质因数状态
void update(int num){
int son=num<<1;
a[num]=a[son]*a[son+1]%MOD;
bit[num]=bit[son]|bit[son+1];
}
void build(int l,int r,int num){
int mid=(l+r)>>1;
if(l==r){
a[num]=3;bit[num]=2;return;
}
build(l,mid,num<<1);build(mid+1,r,(num<<1)+1);
update(num);
}
void change(int l,int r,int num,int pos,ll val){
int mid=(l+r)>>1,i;
if(l==r){
a[num]=val;bit[num]=0;
for(i=1;i<=60;i++) if(val%pri[i]==0) bit[num]|=(1ll<<(i-1));
return;
}
if(mid>=pos) change(l,mid,num<<1,pos,val);
else change(mid+1,r,(num<<1)+1,pos,val);
update(num);
}
pair<ll,ll> query(int l,int r,int ql,int qr,int num){
int mid=(l+r)>>1;pair<ll,ll>re=mp(1,0),tmp;
if(l>=ql&&r<=qr) return mp(a[num],bit[num]);
if(mid>=ql){
tmp=query(l,mid,ql,qr,num<<1);
re.first=re.first*tmp.first%MOD;
re.second|=tmp.second;
}
if(mid<qr){
tmp=query(mid+1,r,ql,qr,(num<<1)+1);
re.first=re.first*tmp.first%MOD;
re.second|=tmp.second;
}
return re;
}
int main(){
int n=read(),i,t1,t2,t3;build(1,100000,1);pair<ll,ll>tmp;
init();
while(n--){
t1=read();t2=read();t3=read();
if(t1) change(1,100000,1,t2,t3);
else{
tmp=query(1,100000,t2,t3,1);
for(i=1;i<=60;i++)
if(tmp.second&(1ll<<(i-1)))
tmp.first=tmp.first*(pri[i]-1)%MOD*inv[i]%MOD;
printf("%lld\n",tmp.first);
}
}
}
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