uoj#448. 【集训队作业2018】人类的本质（Min_25筛+拉格朗日插值）

题面

传送门

题解

肝了整整一天……膜拜yww和cx巨巨……（虽然它们的题解里我就没看懂几个字）

请备好草稿纸和笔，这种题目就是需要耐心推倒

题目所求是这么一个东西

\[\begin{aligned}
ans
&=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1=1}^i\sum_{x_2=1}^i...\sum_{x_k=1}^ilcm(\gcd(i,x_1),\gcd(i,x_2),...,\gcd(i,x_k))\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1=1}^i\sum_{x_2=1}^i...\sum_{x_k=1}^i\frac{i}{\gcd(\frac{i}{\gcd(i,x_1)},\frac{i}{\gcd(i,x_2)},\ldots,\frac{i}{\gcd(i,x_k)})}\\
\end{aligned}
\]

对于每一个\(y_j={i\over\gcd(i,x_j)}\)来说，我们考虑它会出现多少次

\[\begin{aligned}
{i\over\gcd(i,x_j)}=y_j\\
\gcd(i,x_j)={i\over y_j}\\
\gcd(y_j,{x_jy_j\over i})=1\\
\end{aligned}
\]

然后我们发现，满足条件的\(x_j\)恰好有\(\varphi(y_j)\)个

那么答案就可以改成

\[ans
=\sum_{i=1}^n\sum_{y_1,y_2,...,y_k|i}\varphi(y_1)\varphi(y_2)...\varphi(y_k)\frac{i}{\gcd(y_1,y_2,\ldots,y_k)}
\]

我们记

\[f_i=\sum_{y_1,y_2,...,y_k|i}\varphi(y_1)\varphi(y_2)...\varphi(y_k)\frac{i}{\gcd(y_1,y_2,\ldots,y_k)}
\]

那么这道题就变成要我们对\(f_i\)求和了

首先我们可以发现，\(f_i\)是一个积性函数

考虑如何证明。设\(a,b\)互质，那么\(a\)的任何一个因子和\(b\)的任何一个因子也互质，于是有

\[\begin{aligned}
f_af_b
&=\sum_{y_1,y_2,...,y_k|a}\sum_{z_1,z_2,...,z_k|b}\varphi(y_1)\varphi(y_2)...\varphi(y_k)\varphi(z_1)\varphi(z_2)...\varphi(z_k)\frac{a}{\gcd(y_1,y_2,\ldots,y_k)}\frac{b}{\gcd(z_1,z_2,\ldots,z_k)}\\
&=\sum_{y_1,y_2,...,y_k|a}\sum_{z_1,z_2,...,z_k|b}\varphi(y_1z_1)\varphi(y_2z_2)...\varphi(y_kz_k){ab\over \gcd(y_1z_1,y_2z_2,...,y_kz_k)}\\
&=\sum_{y_1z_1,y_2z_2,...,y_kz_k|ab}\varphi(y_1z_1)\varphi(y_2z_2)...\varphi(y_kz_k){ab\over \gcd(y_1z_1,y_2z_2,...,y_kz_k)}\\
&=f_{ab}\\
\end{aligned}
\]

可以这么理解，就是每一个\(ab\)的因子分解成\(a\)的因子和\(b\)的因子的乘积的方法是唯一的，所以可以不重不漏地枚举所有\(ab\)的因子，而且\(y\)和\(z\)全部互质，所以两者积的\(\gcd\)就等于两者\(\gcd\)的积

那么我们需要能够快速求出\(f(p^c)\)

\[\begin{aligned}
f(p^c)
&=\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_k=0}^{c}p^{\max(x_1,x_2,\ldots,x_k)}\prod_{j=1}^k\varphi(p^{c-x_j})\\
&=\sum_{i=0}^cp^i(g(i)-g(i-1))\\
\end{aligned}
\]

其中\(g(i)\)表示\(\max(x_1,x_2,...,x_k)\)小于等于\(i\)的总方案数

显然有

\[g(i)=
\begin{cases}
p^{ck}&,i=c\\
(p^c-p^{c-1-i})^k&,0\leq i< c
\end{cases}
\]

然后再来考虑一下该怎么递推

\[\begin{aligned}
f(p^{c+1})
&=p^kf(p^c)-p^c(p^{(c+1)k}-(p^{c+1}-1)^k)+p^{c+1}(p^{(c+1)k}-(p^{c+1}-1)^k)\\
&=p^kf(p^c)+p^c(p-1)(p^{(c+1)k}-(p^{c+1}-1)^k)\\
\end{aligned}
\]

这个直接根据公式就可以得出转移了

那么当\(n\)范围很小的时候我们就可以直接递推了

然而如果\(n\)很大怎么办？

这就是个积性函数求和啦！

显然，除非脑子被咱踢了，否则这种奇怪的式子不可能用杜教筛搞的，我们只能考虑\(Min\_25\)筛了

然而\(Min\_25\)筛需要\(f(p)\)是一个完全积性函数，或者可以拆成若干个完全积性函数的和，但现在的\(f(p)\)是个啥呢？

\[\begin{aligned}
f(p)
&=g(0)+pg(1)-pg(0)\\
&=(1-p)(p-1)^{k+1}-p^{k+1}\\
&=p^{k+1}-(p-1)^{k+1}
\end{aligned}
\]

这式子怎么看都不像个完全积性函数啊……

我们考虑把\((p-1)^{k+1}\)用二项式定理展开一下，等于\(\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^{k+1-i}p^i{k+1\choose i}\)，然后用\(p^{k+1}\)减去它，发现

\[f(p)=-\sum_{i=0}^k(-1)^{k+1-i}p^i{k+1\choose i}=\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}p^i{k+1\choose i}
\]

那么\(f(p)\)就可以拆成\(k+1\)个完全积性函数的和了。我们每一次枚举\(i\)，把记\(f(p)\)的值为\((-1)p^i\)，拉格朗日插值求一下前缀和作为初始值，算出答案之后再乘上后面的组合数加到\(g\)数组里就行了

然而\(Min\_25\)筛还需要能够快速求出\(f(p^c)\)的值，这里没有好的办法，只能暴力了

实测当\(n\leq 5000000\)的时候用方法\(1\)，其他情况用方法\(2\)求和复杂度最优

明明是个完全抄题解的却因为调了一下啥时候改用方法\(1\)啥时候该用方法\(2\)跑到了\(rank\ 1\)我有点慌

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define pi pair<int,int>
#define IT map<pi,int>::iterator
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int P=1e9+7;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R ll y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int n,k;
namespace chino{
	const int N=1e7+5;
	bitset<N>vis;int p[N/3+5],pw[N],f[N],c[N],tot,v,res;
	void MAIN(){
		f[1]=pw[1]=1;
		fp(i,2,n){
			if(!vis[i])p[++tot]=i,pw[i]=ksm(i,k);
			for(R int j=1;j<=tot&&1ll*i*p[j]<=n;++j){
				vis[v=i*p[j]]=1,pw[v]=mul(pw[i],pw[p[j]]);
				if(i%p[j]==0)break;
			}
		}
		fp(i,2,n){
			if(!vis[i])c[i]=i,f[i]=dec(ksm(i,k+1),ksm(i-1,k+1));
			for(R int j=1;j<=tot&&1ll*i*p[j]<=n;++j){
				v=i*p[j];
				if(i%p[j]==0){
					c[v]=c[i]*p[j];
					f[v]=(c[v]==v)?add(mul(pw[p[j]],f[i]),1ll*i*(p[j]-1)%P*dec(pw[v],pw[v-1])%P):mul(f[c[v]],f[v/c[v]]);
					break;
				}
				c[v]=p[j],f[v]=mul(f[i],f[p[j]]);
			}
		}
		fp(i,1,n)res=add(res,f[i]);
		printf("%d\n",res);
	}
}
namespace yosino{
	#define ID(x) (x<=sqr?id1[x]:id2[n/(x)])
	const int N=1e5+5;
	bitset<N>vis;int p[N],ans[N],g[N],id1[N],id2[N],sp[N];
	int fac[N],ifac[N],w[N],sum[N],Pre[N],suf[N],s[N],pw[N];
	int tot,cnt,sqr,m;map<pi,int>mp;
	inline int C(R int n,R int m){return n<m?0:1ll*fac[n]*ifac[m]%P*ifac[n-m]%P;}
	void init(int n=N-5){
		fac[0]=ifac[0]=1;
		fp(i,1,n)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		ifac[n]=ksm(fac[n],P-2);
		fd(i,n-1,1)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
		fp(i,2,n){
			if(!vis[i])p[++tot]=i,sum[tot]=add(sum[tot-1],dec(ksm(i,k+1),ksm(i-1,k+1)));
			for(R int j=1;j<=tot&&1ll*i*p[j]<=n;++j){
				vis[i*p[j]]=1;
				if(i%p[j]==0)break;
			}
		}
	}
	void qwq(int x,int n=N-5){
		cnt=0,pw[1]=1;
		fp(i,2,n){
			if(!vis[i])pw[i]=ksm(i,x),++cnt,sp[cnt]=add(sp[cnt-1],pw[i]);
			for(R int j=1;1ll*i*p[j]<=n;++j){
				pw[i*p[j]]=mul(pw[i],pw[p[j]]);
				if(i%p[j]==0)break;
			}
		}
		fp(i,1,n)s[i]=add(s[i-1],pw[i]);
	}
	int Lar(R int k,R int n){
		if(k<=n)return s[k];
		Pre[0]=1;fp(i,1,n)Pre[i]=mul(Pre[i-1],k-i);
		suf[n+1]=1;fd(i,n,1)suf[i]=mul(suf[i+1],k-i);
		int res=0,ty=(n-1)&1?P-1:1;
		fp(i,1,n)res=add(res,1ll*s[i]*Pre[i-1]%P*suf[i+1]%P*ifac[i-1]%P*ifac[n-i]%P*ty%P),ty=P-ty;
		return res;
	}
	void solve(int x){
		qwq(x);
		fp(i,1,m)g[i]=((w[i]<=N-5)?s[w[i]]:Lar(w[i],x+2))-1;
		fp(j,1,tot)for(R int i=1;1ll*p[j]*p[j]<=w[i];++i)
			g[i]=dec(g[i],mul(pw[p[j]],dec(g[ID(w[i]/p[j])],sp[j-1])));
	}
	inline int G(R int i,R int p,R int m){
		if(i==m)return ksm(p,1ll*k*m);
		return ksm(dec(ksm(p,m),ksm(p,m-i-1)),k);
	}
	inline int F(R int p,R int k){
		IT it=mp.find(pi(p,k));
		if(it!=mp.end())return it->second;
		int res=0,las=0,now;
		fp(i,0,k)now=G(i,p,k),res=add(res,mul(ksm(p,i),dec(now,las))),las=now;
		return mp[pi(p,k)]=res;
	}
	int S(int x,int y){
		if(x<=1||p[y]>x)return 0;
		int res=dec(ans[ID(x)],sum[y-1]);
		for(R int i=y;i<=tot&&1ll*p[i]*p[i]<=x;++i)
			for(R int e=1,pr=p[i],las=F(p[i],1),now;1ll*pr*p[i]<=x;++e,pr*=p[i],las=now)
				now=F(p[i],e+1),res=add(res,add(mul(S(x/pr,i+1),las),now));
			return res;
	}
	void MAIN(){
		sqr=sqrt(n),init(),pw[1]=1;
		for(R int i=1,j;i<=n;i=j+1)j=n/(n/i),w[++m]=n/i,ID(w[m])=m;
		fp(i,0,k){
			solve(i);int v=((k-i)&1)?P-C(k+1,i):C(k+1,i);
			fp(j,1,m)ans[j]=add(ans[j],mul(v,g[j]));
		}
		printf("%d\n",S(n,1)+1);
	}
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	n<=5e6?chino::MAIN():yosino::MAIN();
	return 0;
}