BZOJ1096 [ZJOI2007]仓库建设(斜率优化)
题目背景
小B的班级数学学到多项式乘法了,于是小B给大家出了个问题:用编程序来解决多项式乘法的问题。
题目描述
L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。
工厂1在山顶,工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。
突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。
由于地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。
对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。
假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到以下数据:
- 工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);
- 工厂i目前已有成品数量Pi;
- 在工厂i建立仓库的费用Ci;
请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。
输入输出格式
输入格式:
第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
输出格式:
仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。
输入输出样例
说明
在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。
如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)5+(9-5)3=57,总费用67,不如前者优。
对于20%的数据, N ≤500;
对于40%的数据, N ≤10000;
对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
题解
妈耶……原来这就是斜率优化么……先膜一波AC666大佬
考虑dp$$dp_i=min_{0\leq j<i}\{dp_j+x_i*\sum _{l=j+1}^i p_l-\sum_{l=j+1}^i p_l*x_l \}+c_i$$
设$sump_i=\sum _{j=1}^ip_i$,$sum_i=\sum _{j=1}^i p_i*x_i$
那么原始可以化简为$$dp_i=min_{0\leq j<i}\{dp_j+x_i(sump_i-sump_j)-(sum_i-sum_j) \}+c_i$$
然后假设$j$比$k$更优,且有$j>k$,则有$$dp_j+x_i(sump_i-sump_j)-(sum_i-sum_j)<dp_k+x_i(sump_i-sump_k)-(sum_i-sum_k)$$
然后化简得$$dp_j-x_i*sump_j+sum_j<dp_k-x_i*sump_k+sum_k$$
$$(dp_j+sum_j)-(dp_k+sum_k)<x_i*sump_j-x_i*sump_k$$
$$\frac{(dp_j+sum_j)-(dp_k+sum_k)}{sump_j-sump_k}<x_i$$
然后令$Y_i=dp_i-sum_i,X_i=sump_i$
那么$$\frac{Y_j-Y_k}{X_j-X_k}<x_i$$
然后直接用斜率优化即可
//minamoto
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
#define num ch-'0'
char ch;bool flag=;int res;
while(!isdigit(ch=getc()))
(ch=='-')&&(flag=true);
for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
(flag)&&(res=-res);
#undef num
return res;
}
const int N=1e6+;
ll sump[N],sum[N],dp[N];
int n,x[N],p[N],c[N],q[N],h,t;
inline ll Y(int i){
return dp[i]+sum[i];
}
inline ll X(int i){
return sump[i];
}
inline double slope(int i,int j){
return (double)(Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));
}
int main(){
n=read();
for(int i=;i<=n;++i){
x[i]=read(),p[i]=read(),c[i]=read();
sump[i]=sump[i-]+p[i];
sum[i]=sum[i-]+1ll*p[i]*x[i];
}
for(int i=;i<=n;++i){
while(h<t&&slope(q[h],q[h+])<x[i]) ++h;
int j=q[h];dp[i]=dp[j]+(sump[i]-sump[j])*x[i]-sum[i]+sum[j]+c[i];
while(h<t&&slope(q[t],q[t-])>slope(q[t-],i)) --t;q[++t]=i;
}
printf("%lld\n",dp[n]);
return ;
}
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