UOJ185 ZJOI2016 小星星 容斥、树形DP

传送门

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先考虑一个暴力的DP：设\(f_{i,j,S}\)表示点\(i\)映射到了图中的点\(j\)，且点\(i\)所在子树的所有点映射到了图中的集合\(S\)时的映射方案数，转移暴力地枚举子集即可，复杂度\(O(n^33^n)\)显然跑不过。

那么我们注意一下复杂度的瓶颈到底出现在了哪里，不难发现出现在了“树上的每一个点映射到的图上的点不能相同”这一个限制。如果没有这一个限制，不难发现一个\(O(n^3)\)的DP：设\(f_{i,j}\)表示点\(i\)映射到了图中的点\(j\)时的方案数，转移枚举儿子映射到的点考虑这两个点是否连边。

如果直接这样做显然会算重一些东西，也就是某一些点可能会映射到相同的点。我们是否可以通过某些方式减掉这个方案数？那么就不难想到容斥了。我们对于点集全集的每一个子集\(T\)，每一次跑一边树形DP计算当树上的每一个点都只能映射到\(T\)点集中的点时的方案数，容斥系数是\((-1)^{N - |T|}\)。这样我们以\(O(2^nn^3)\)的复杂度完成了此题，虽然复杂度很不对但是就是能过……

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