米勒罗宾素数检测（Miller-Rabin）

适用范围：较大数的较快素性判断

思路：

因为有好的文章讲解具体原理（见参考文章），这里只是把代码的大致思路点一下，读完了文章如果还有些迷糊，可以参考以下解释

原理是费马小定理：如果p是素数，则a^(p-1)%p==1，加上二次探测定理：如果p是一个素数，则x^2%p==1的解为，则x=1或者x=n-1。

因为有通过费马小定理的伪素数的概率不是充分小，在此基础上加以改进判断。

一次检测中：

主要是把一个数n的n-1分解成d*2^r的形式，其中d为奇数，正向过程是a^n%p如果是1，就继续分解a^(n/2)%p，（a为一个与n互素的数）看是否为1,；如果是n-1就停止分解，说明至此无法判断是否为素数；如果不等于这两个值，则一定为合数。而在写代码过程是这个过程的逆向过程，先分解到底，看最后这个a^d%p是否为1或n-1，如果是说明已经分解到底了，也就是通过了此次素性测试。如果不是，说明在正向过程中出现了要么a的某次方为n-1，根据算法停止了检测过程；要么就是中间的某一个结果不等于这两个数，那么就是合数。就从最后往前面推，每一步看满不满足上述条件。直到判断为合数或者终止检测的那一步。

多次检测过程：

不停更换a测试。

代码：（代码中可能需要用到快速幂和大数乘积取余，可以参考前一篇博客）

 #include <iostream>
 #include <time.h>
 using namespace std;
 long long an[] = {,,,,,,,};
 long long Random(long long n)//生成0到n之间的整数
 {
     return (double) rand()/RAND_MAX*n+0.5;//(doubel)rand()/RAND_MAX生成0-1之间的浮点数
 }
 long long q_mod(long long a,long long n,long long p)
 {
     a = a%p;
     //首先降a的规模
     long long sum = ;//记录结果
     while(n)
     {
         if(n&)
         {
             sum = (sum*a)%p;//n为奇数时单独拿出来乘
         }
         a = (a*a)%p;//合并a降n的规模
         n /= ;
     }
     return sum;
 }
 long long q_mul(long long a,long long b,long long p)
 {
     long long sum = ;
     while(b)
     {
         if(b&)//如果b的二进制末尾是零
         {
             (sum += a)%=p;//a要加上取余
         }
         (a <<= )%=p;//不断把a乘2相当于提高位数
         b >>= ;//把b右移
     }
     return sum;
 }
 bool witness(long long a,long long n)
 {
     long long d = n-;
     long long r = ;
     while(d%==)
     {
         d/=;
         r++;
     }//n-1分解成d*2^r，d为奇数
     long long x = q_mod(a,d,n);
     //cout << "d " << d << " r " << r << " x " << x << endl;
     if(x==||x==n-)//最终的余数是1或n-1则可能是素数
     {
         return true;
     }
     while(r--)
     {
         x = q_mul(x,x,n);
         if(x==n-)//考虑开始在不断地往下余的过程
         {
             return true;//中间如果有一个余数是n-1说明中断了此过程，则可能是素数
         }
     }
     return false;//否则如果中间没有中断但最后是余数又不是n-1和1说明一定不是素数
 }
 bool miller_rabin(long long n)
 {
     const int times = ;//试验次数
     if(n==)
     {
         return true;
     }
     if(n<||n%==)
     {
         return false;
     }
     for(int i = ;i<times;i++)
     {
         long long a = Random(n-)+;//1到(n-1)
         //cout << a << endl;
         if(!witness(a,n))
         {
             return false;
         }
     }
     return true;
 }
 int main()
 {
     long long num;
     cin >> num;
     if(miller_rabin(num))
     {
         cout << "Yes" << endl;
     }
     else
     {
         cout << "No" << endl;
     }
 }

参考文章：

Matrix67，数论部分第一节：素数与素性测试，http://www.matrix67.com/blog/archives/234（原理只推荐这一篇，这一篇是我目前见到的解释的最清晰，也可能是最精彩的，没有之一！虽然是07年的，好博客与时间没有关系）

因为上篇代码部分用的是Pascal，这里找到c++的代码版本：

StanleyClinton，素数判定Miller_Rabin算法详解，https://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45458569

还有rand函数的使用：https://jingyan.baidu.com/article/e73e26c060bdbc24adb6a7b0.html