POJ2942 Knights of the Round Table【Tarjan点双联通分量】【二分图染色】【补图】

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题目大意

有一群人，其中有一些人之间有矛盾，现在要求选出一些人形成一个环，这个环要满足如下条件：

1.人数大于1

2.总人数是奇数

3.有矛盾的人不能相邻

问有多少人不能和任何人形成任何的环

思路

发现如果在原图上直接判断非常的不方便

考虑在补图上挖掘性质

补图：

补图和原图没有任何一条重边

不图和原图的所有边并集是一个完全图

即删去所有存在的边，把不存在的边加上

发现可以选出来的环在补图上一定是一个奇环

那么就可以考虑怎么找到补图中的所有奇环

• 性质1：包含一个奇环的点双连通分量中的每一个点一定属于某一个奇环

这个性质还挺神奇的

因为这个点双联通分量中的每两个点之间至少有两条点不相交路径

所以假设一个偶环包含了一个奇环中的一部分\(p_u...p_v\)，

因为p是奇环所以\(p_u\)到\(p_v\)中一定有一条长度是奇数的路径和一条长度是偶数的路径

所以结论成立咯

所以就可以发现只需要对每个强连通分量判断包不包含奇环就可以了

• 性质2：包含奇环的充分必要条件是二分图染色冲突

还挺好证明的吧

如果二分图染色不出现冲突，就是个二分图了

二分图中是没有奇环的

所以直接点双联通判一下有没有奇环就可以了

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毒瘤poj上有多组数据

注意清零的问题

特别是二分图染色的数组

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//Author: dream_maker
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<stack>
using namespace std;
//----------------------------------------------
//typename
typedef long long ll;
//convenient for
#define fu(a, b, c) for (int a = b; a <= c; ++a)
#define fd(a, b, c) for (int a = b; a >= c; --a)
#define fv(a, b) for (int a = 0; a < (signed)b.size(); ++a)
//inf of different typename
const int INF_of_int = 1e9;
const ll INF_of_ll = 1e18;
//fast read and write
template <typename T>
void Read(T &x) {
  bool w = 1;x = 0;
  char c = getchar();
  while (!isdigit(c) && c != '-') c = getchar();
  if (c == '-') w = 0, c = getchar();
  while (isdigit(c)) {
    x = (x<<1) + (x<<3) + c -'0';
    c = getchar();
  }
  if (!w) x = -x;
}
template <typename T>
void Write(T x) {
  if (x < 0) {
    putchar('-');
    x = -x;
  }
  if (x > 9) Write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
//----------------------------------------------
const int N = 1e3 + 10;
const int M = 1e6 + 10;
struct Edge{
  int u, v, nxt;
} E[M << 1];
int g[N][N], n, m, in[N];
int head[N], tot, vis[N], col[N];
void add(int u, int v) {
  ++tot;
  E[tot].u = u;
  E[tot].v = v;
  E[tot].nxt = head[u];
  head[u] = tot;
}
void clean() {
  memset(head, 0, sizeof(head));
  tot = 0;
}
bool dfs(int u, int now) {
  col[u] = now;
  for (int i = head[u]; i; i = E[i].nxt) {
    int v = E[i].v;
    if (!in[v]) continue;
    if (col[v] && col[v] == col[u]) return 1;
    else if (!col[v] && dfs(v, 3 - now)) return 1;
  }
  return 0;
}
namespace Tarjan {
int dfn[N], low[N], bel[N];
int ind = 0, cnt_bcc = 0;
stack<Edge> st;
vector<int> bcc[N];
void init() {
  memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
  memset(low, 0, sizeof(low));
  memset(bel, 0, sizeof(bel));
  ind = 0;
}
void tarjan(int u, int fa) {
  dfn[u] = low[u] = ++ind;
  for (int i = head[u]; i; i = E[i].nxt) {
    int v = E[i].v;
    if (v == fa) continue;
    if (!dfn[v]) {
      st.push(E[i]);
      tarjan(v, u);
      low[u] = min(low[u], low[v]);
      if (low[v] >= dfn[u]) {
        ++cnt_bcc;
        bcc[cnt_bcc].clear();
        Edge now;
        do {
          now = st.top(); st.pop();
          if (bel[now.u] != cnt_bcc) {
            bel[now.u] = cnt_bcc;
            bcc[cnt_bcc].push_back(now.u);
          }
          if (bel[now.v] != cnt_bcc) {
            bel[now.v] = cnt_bcc;
            bcc[cnt_bcc].push_back(now.v);
          }
        } while (now.u != u || now.v != v);
        fv(j, bcc[cnt_bcc]) in[bcc[cnt_bcc][j]] = 1;
        if (dfs(bcc[cnt_bcc][0], 1))
          fv(j, bcc[cnt_bcc]) vis[bcc[cnt_bcc][j]] = 1;
        fv(j, bcc[cnt_bcc]) in[bcc[cnt_bcc][j]] = col[bcc[cnt_bcc][j]] = 0;
      }
    } else {
      if (dfn[v] < dfn[u]) {
        st.push(E[i]);
        low[u] = min(low[u], dfn[v]);
      }
    }
  }
}
}
using namespace Tarjan;
int main() {
  freopen("input.txt", "r", stdin);
  while (1) {
    Read(n), Read(m);
    if (!n && !m) return 0;
    tot = 0;
    fu(i, 1, n) head[i] = vis[i] = 0;
    init();
    fu(i, 1, n)
      fu(j, 1, n)
        g[i][j] = (i == j);
    fu(i, 1, m) {
      int u, v; Read(u), Read(v);
      g[u][v] = g[v][u] = 1;
    }
    fu(i, 1, n)
      fu(j, 1, n)
        if (!g[i][j])
          add(i, j);
    fu(i, 1, n) if (!dfn[i]) tarjan(i, 0);
    int ans = n;
    fu(i, 1, n) if (vis[i]) --ans;
    Write(ans), putchar('\n');
  }
  return 0;
}