Codeforces 994F Compute Power 二分+DP

题意：给n个任务 每个任务有两个值\(a,b\) 现有许多机器 每台最多可以执行两次任务 若存在第二次任务则满足\(a_{second}<a_{first}\) 定义代价\(val = \frac { \sum_{i \in S } a[i]} { \sum_{i \in S} b[i] }\) 其中\(S\)为当做第一次来执行的任务的集合 求\(val\)的最小值

\(n \leq 60,a_i \leq 10^8,b_i \leq 100\)

很容易想到二分最小值并且联想到经典的\(01\)分数规划 即

\(\frac {\sum_{i=1}^{n}a[i]}{\sum_{i=1}^{n}b[i]} \leq x\)

\({\sum_{i=1}^{n}a[i]} \leq x \times {\sum_{i=1}^{n}b[i]}\)

\({\sum_{i=1}^{n}a[i]}-x \times {\sum_{i=1}^{n}b[i]} \leq 0\)

\({\sum_{i=1}^{n} (a[i]-x \times b[i]) \leq 0}\)

顺着这个思路 我们来设计\(dp\)方程

先将任务按\(a\)降序排序

\(f[i][j][k]\)表示做到第\(i\)个有\(j\)个大于\(a_i\)的任务是当做第一次来做且没有被安排第二次有\(k\)个等于\(a_i\)的任务是当做第一次来做且没有被安排第二次

转移式为

\(f[i][j][k]=min(f[i+1][j-1][k],f[i+1][j+1][k]+a_i-x \times b_i )(a_i=a_{i+1})\)

\(f[i][j][k]=min(f[i+1][j+k-1][0],f[i+1][j+k-1][0]+a_i-x \times b_i) (a_i>a_{i+1})\)

\(dp\)之后只需要判定\(f[0][0][0] \leq 0\)是否满足来二分就好了

有个坑点是题目要求输出\(ceil(ans \times 1000)\) 我用\(google\)翻译出来却是把\(ans \times 1000\)四舍五入 以后还是读英文题面好了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define cl(x) memset(x,0,sizeof x)
#ifdef Poi
#define bug(x) cout<<(#x)<<" "<<(x)<<endl
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define bug(x)
#define debug(...)
#endif
const int INF = 0x7fffffff;
const int N=55;
inline int read(){
    int x=0,rev=0,ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')rev=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return rev?-x:x;
}
struct data{
	double a,b;
}t[N];
double X,f[N][N][N];
bool vis[N][N][N];
int n;
ll ans;

bool cmp(data i,data j){
	return i.a>j.a;
}
double dfs(int pos,int d,int g){
	if(pos==n) return 0;
	if(vis[pos][d][g]) return f[pos][d][g];
	vis[pos][d][g]=1;
	double mn=INF;
	if(pos<n-1&&t[pos].a==t[pos+1].a) {
		if(d) mn=min(mn,dfs(pos+1,d-1,g));
		mn=min(mn,dfs(pos+1,d,g+1)+t[pos].a-X*t[pos].b);
	}
	else if(t[pos].a!=t[pos+1].a||pos==n-1){
		if(d) mn=min(mn,dfs(pos+1,d+g-1,0));
		mn=min(mn,dfs(pos+1,d+g+1,0)+t[pos].a-X*t[pos].b);
	}
	return f[pos][d][g]=mn;
}
bool judge(double k){
	X=k,cl(vis),cl(f);
	return dfs(0,0,0)<=0;
}

int main(){
#ifdef Poi
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	n=read();
	for(int i=0;i<n;i++) t[i].a=read();
//	bug(t[n-1].a);
	for(int i=0;i<n;i++) t[i].b=read();
	if(t[0].a==99999991) {
//		for(int i=0;i<n;i++) cout<<t[i].b<<endl;
	}
	sort(t,t+n,cmp);
	double l=0,r=1e8;
	for(int T=1;T<=100;T++){
		double mid=(l+r)/2.0;
//		bug(mid);
		if(judge(mid)) r=mid;
		else l=mid;
	}
//	bug(l);
	ans=(ceil)(l*1000);
//	printf("%.6lf\n",l);
	cout<<ans<<endl;
}