P9482 [NOI2023] 字符串
\(36pts\)
\(O(tqn^2)\)暴力即可
\(40pts\)
对于最朴素的暴力优化,从头到尾扫,如果已经当前位字符比出优先级,那么直接能判断了,没必要往后跑了,第15个性质B的也给跑过了,我没料到,不过数据强一点其实和20pts没区别
\(性质A(60pts)\)
没有想出来
\(性质B(72pts)\)
写这个性质只有12pts,但是对于思考正解有很大帮助
给定st和r,题目让我们求 \(s[st,st+l-1]\) 字典序小于 \(R(s[st+l,st+2l-1])\) 且 1<=l<=r 的个数,先把反串接在后面,用特殊符号连接。既然这个东东很像回文,那我们就把他搞成成前缀或后缀表示,采用放缩法,于是上面的东东相当于是: \(s[st,n]<=s[1,st+2l-1]\) ,跟上面的东东没两样,然后就是st开始的后缀小于st+2l-1结尾的前缀,感觉是SA+ds状物(SAM维护不了rank)。按照这样子搞显然会出现重复,不过写B性质绰绰有余,正解感觉就是搞个容斥减掉贡献了
令\(n=|S+char+revS|\)
那么 \(yn=|S| ,有n=2yn+1\)
所以需要求 pos属于 \([n+2-st-2r,n-st]\) 且满足 pos和st奇偶性相同,rank[st]<rank[p]的个数
就变成了经典模型二维数点,但是需要分奇偶去搞,分奇偶去搞的原因如下:
\(A=S[st,st+l-1],B=S[st+l,st+2l-1]\)
我们尝试将 \(l\) 增加一位,比较的两个子串变成了 \(A'=S[st,st+l],B'=S[st+l+1,st+2l+1]\)
我们发现 \(B'\) 的右端点较 \(B\) 的右端点增加了 \(2\).
可以发现,在固定 \(l\) 的前提下,\(B\) 的右端点奇偶性是固定的, 所以我们需要将询问按 \(l\) 的奇偶性分别建立树状数组.
正解
在B性质基础上,考虑容斥,非法情况就是 \(S[st,st+2l-1]\) 构成回文串,并且 \(rank[st]<rank[st+2l-1]\) ,那就要减掉1种情况
现在想怎么搞出回文串,显然是要找偶回文,因为你没有理由中间有个字符(但是我们可以假设回文中心是 \(i+\frac{1}{2}\) )然后对于所有以某个位置为回文中心的所有偶回文串,针对 \(s[i...]和revs[..j]\) 要么全产生贡献,要么全都不产生贡献,所以就不需要用PAM和Manacher了,然后我们求回文串是什么,显然转化成了SA的经典问题,求任意两个后缀的lcp,不过要注意两个串是同一个(不过本质上是一样的),然后对于每一个 \(i\),扫过去的时候就又是个二维数点了
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