CF1656F Parametric MST 题解

为了便于解题，先对 \(a\) 数组从小到大进行排序。

首先，根据定义可以得出总价值的表达式：

\[\begin{aligned}
W&=\sum\limits_{(u,v)\in E}[a_ua_v+t(a_u+a_v)]\\
&=\sum\limits_{(u,v)\in E}a_ua_v+t\sum\limits_{(u,v)\in E}(a_u+a_v)
\end{aligned}
\]

接着，我们需要发现一个比较重要的性质：

• \(w_{i,j}(t)=a_ia_j+t(a_i+a_j)=(a_i+t)(a_j+t)-t^2\)

也就是说，如果固定一个 \(t\)，那么 \(t^2\) 就是定值，可以暂不考虑；\(\forall 1\le i\le n\)，如果 \(a_i+t\) 是正数，就向结点 \(1\) 连边以最小化该点的贡献；如果 \(a_i+t\) 是负数，就向结点 \(n\) 连边（如果 \(a_i+t=0\) 那么向哪个点连边都一样）。最后去掉 \(1\) 与 \(n\) 之间的重边以及若干自环，即可构造出正好有 \(n-1\) 条边的最小生成树。

现在来考虑一下无解的情况：

• 如果 \(\forall 1\le i\le n,a_i+t>0\)，那么除了 \(1\) 以外的所有结点向 \(1\) 连边，有

  \[\begin{aligned}
  W&=\sum\limits_{(u,v)\in E}a_ua_v+t\sum\limits_{(u,v)\in E}(a_u+a_v)\\
  &=a_1\sum\limits_{i=2}^na_i+t\left[(n-1)a_1+\sum\limits_{i=2}^na_i\right]\\
  \end{aligned}
  \]

  可以发现，\(W\) 是关于 \(t\) 的一次函数。由于满足 \(\forall 1\le i\le n,a_i+t>0\)，所以如果一次项系数 \((n-1)a_1+\sum\limits_{i=2}^na_i>0\)，那么当 \(t\rightarrow+\infty\) 时 \(W\rightarrow+\infty\)，该函数不存在最大值。

• 如果 \(\forall 1\le i\le n,a_i+t<0\)，同理有：

  \[\begin{aligned}
  W&=a_n\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i+t\left[(n-1)a_n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i\right]\\
  \end{aligned}
  \]

  类似的，如果 \((n-1)a_n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i<0\)，当 \(t\rightarrow-\infty\) 时，\(W\rightarrow+\infty\)，不存在最大值。

综上，如果 \((n-1)a_1+\sum\limits_{i=2}^na_i>0\) 或 \((n-1)a_n+\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i<0\)，边权和不存在最大值，直接输出 INF 即可。

现在来考虑有解时如何寻找解。这时我们就需要引入一个新的性质：

• 如果 \(W\) 能取到最大值，\(-t\) 的值一定是 \(a\) 数组中的其中一个元素的值。

  证明：

  容易得知当 \(W\) 取到最值时，\(a_1\le -t\le a_n\)（否则函数不收敛）。

  当 \(-t\in[a_i,a_{i+1}](1\le i<n)\) 时，最优的连边方式之一是将所有的 \(1\le j\le i\) 向结点 \(n\) 连边（因为这些 \(j\) 满足 \(a_j+t\le 0\)），其他结点向 \(1\) 连边。所以我们可以得到 \(W\) 的表达式：

  \[\begin{aligned}
  W&=a_n\sum\limits_{j=2}^ia_j+t\left[(i-1)a_n+\sum\limits_{j=2}^ia_j\right]+a_1\sum\limits_{j=i+1}^na_j+t\left[(n-i)a_1+\sum_{j=i+1}^na_j\right]
  \end{aligned}
  \]

  （注意到这里 \(1\) 和 \(n\) 之间的边仅仅被连了一次，所以最终不用考虑重边的影响。）

  在这里因为 \(i\) 确定，所以 \(W\) 还是关于 \(t\) 的一次函数，最值必然在 \(-t=a_i\) 或 \(-t=a_{i+1}\) 时取到。命题得证。

接下来只用枚举 \(i=1,2,\ldots,n\)，然后令 \(t=-a_i\)，将 \(t\) 带入证明中的那个表达式算出 \(W\) 的值。在所有的 \(W\) 中找到 \(W_{\max}\) 并输出即可。

中间那一些求和的式子可以使用前缀和维护。

放代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
main(){
  ios::sync_with_stdio(false);
  int t; cin>>t;
  while(t--){
    int n,c=LLONG_MIN; cin>>n;
    vector<int> a(n),s;
    for(auto &i:a)cin>>i;
    sort(a.begin(),a.end()); // 排序
    partial_sum(a.begin(),a.end(),back_inserter(s)); // 做前缀和
    if(a[0]*(n-2)+s[n-1]>0||a[n-1]*(n-2)+s[n-1]<0)cout<<"INF\n"; // 无解情况
    else{
      for(int i=0;i<n;i++)
        c=max(c,a[0]*(s[n-1]-s[i])-a[i]*(a[0]*(n-i-1)+s[n-1]-s[i])+a[n-1]*(s[i]-s[0])-a[i]*(a[n-1]*i+s[i]-s[0]));
        // 带入表达式计算
      cout<<c<<endl;
    }
  }
  return 0;
}