最长回文字符串(manacher算法)

偶然看见了人家的博客发现这么一个问题，研究了一下午， 才发现其中的奥妙。Stupid。

题目描述：

     回文串就是一个正读和反读都一样的字符串，比如“level”或者“noon”等等就是回文串。  

     回文子串，顾名思义，即字符串中满足回文性质的子串。   

     给出一个只由小写英文字符a,b,c...x,y,z组成的字符串，请输出其中最长的回文子串的长度。

输入：

     输入包含多个测试用例，每组测试用例输入一行由小写英文字符a,b,c...x,y,z组成的字符串，字符串的长度不大于200000。

输出：

     对于每组测试用例，输出一个整数，表示该组测试用例的字符串中所包含的的最长回文子串的长度。

样例输入：

abab
bbbb
abba

样例输出：

3
4
4

思路：

回文串包括奇数长的和偶数长的，一般求的时候都要分情况讨论，这个算法做了个简单的处理把奇偶情况统一了。原来是奇数长度还是奇数长度，偶数长度还是偶数长度。

算法的基本思路是这样的，把原串每个字符中间用一个串中没出现过的字符分隔#开来(统一奇偶)，同时为了防止越界，在字符串的首部也加入一个特殊符$，但是与分隔符不同。同时字符串的末尾也加入'\0'.

算法的核心：用辅助数组p记录以每个字符为核心的最长回文字符串半径。也就是p[i]记录了以str[i]为中心的最长回文字符串半径。p[i]最小为1，此时回文字符串就是字符串本身。

先看个例子：

原串：        w aa bwsw f d
      新串：     $ # w# a # a # b# w # s # w # f # d #
辅助数组P：    1  2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1

首先看代码（借助http://blog.csdn.net/thyftguhfyguj/article/details/9531149）：

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;

char s[200002];
char str[400010];
int p[400010];  

int min(int a,int b){
	return a < b ? a : b;
}  

int pre(){
	int i,j = 0;
	str[j++] = '$';//加入字符串首部的字符串
	for(i = 0;s[i];i++){
		str[j++] = '#';  //分隔符
		str[j++] = s[i];
	}
	str[j++] = '#';
	str[j] = '\0';  //尾部加'\0'
	cout<<str<<endl;
	return j;
}  

void manacher(int n){
	int mx = 0,id,i;
	p[0] = 0;
	for(i = 1;i < n;i++){
		if(mx > i)  //在这个之类可以借助前面算的一部分
			p[i] = min(mx - i,p[2 * id - i]); //p[2*id-1]表示j处的回文长度
		else  //如果i大于mx，则必须重新自己算
			p[i] = 1;
		while(str[i - p[i]] == str[i + p[i]])  //算出回文字符串的半径
			p[i]++;
		if(p[i] + i > mx){  //记录目前回文字符串扩展最长的id
			mx = p[i] + i;
			id = i;
		}
	}
}  

int main(int argc, char const *argv[]){  

	while(scanf("%s",s) != EOF){
		int n = pre();
		manacher(n);
		int ans = 0,i;
		for(i = 1;i < n;i++)
			if(p[i] > ans)
				ans = p[i];
		printf("%d\n",ans - 1);
	}
	return 0;
} 

上面的程序说明：pre()函数对给定字符串进行预处理，也就是加分隔符。

上面几个变量说明：id记录具有遍历过程中最长半径的回文字符串中心字符串。mx记录了具有最长回文字符串的右边界。看下面这个图（注意，j为i关于id对称的点，j = 2*id - i）：

但是p[i] = p[j]是没有错的，但是这里有个问题，就是i的一部分超出阴影部分，这就不对了。请看下图（为了看得更清楚，下面子串用细条纹表示）：

此时，根据对称型只能得出p[i]和p[j]红色阴影部分是相等的，这就为什么有取最小值这个操作：

if(mx > i)  //在这个之类可以借助前面算的一部分
    p[i] = min(mx - i,p[2 * id - i]);  

下面代码就很容易看懂了。

最后遍历一遍p数组，找出最大的p[i]-1就是所求的最长回文字符串长度，下面证明一下：

（1）因为p[i]记录插入分隔符之后的回文字符串半径，注意插入分隔符之后的字符串中的回文字符串肯定是奇数长度，所以以i为中心的回文字符串长度为2*p[i]-1。

例如：bb=>#b#b#

bab=>#b#a#a#b#

（2）注意上面两个例子的关系。#b#b#减去一个#号的长度就是原来的2倍。即((2*p[i]-1)-1)/2 = p(i)-1，得证。

算法的有效比较次数为MaxId 次，所以说这个算法的时间复杂度为O(n)。