codeforces 400E. Inna and Binary Logic 线段树

题目链接

给出n个数， 定义a[1][i]为这初始的n个数， 然后a[i][j] = a[i-1][j]&a[i-1][j-1]， 这样就可以得到一个三角形一共n*(n-1)/2个数。

给出一种操作， 将a[1][x]这个位置的数换为y， 然后求换完之后的这n(n-1)/2个数的和。

很有意思的题， 这个题应该按位建线段树， 这样需要建18棵， 因为a[1][i]的最大值为1e5。

然后我们来看具体如何做， 我们来看一组数据：3 6 7， 换为二进制之后是下面这个样子。

0 1 1

1 1 0

1 1 1

我们先来算一算这三个数的值为多少， 3+6+7+2+6+2 = 26。

我们发现第一个数和第二个数&之后剩余的是2， 第二个数和第三个数&之后剩余的是6， 我们来观察二进制， 发现第一个数和第二个数的第二位的2个1是相邻的， 并且这一位换成10进制正好是2， 而第二个数和第三个数的第一位和第二位的两个1是相邻的， 换成10进制之后是6。

由此可以推断出， 如果是一个单独的1， 那么贡献就是1， 两个相邻的1贡献是2*3/2 = 3，n个相邻的1贡献就是n(n+1)/2。

那么我们建立线段树的时候就应该保存一个sum， prefix， 以及suffix， 具体的看代码。

 #include <iostream>
 #include <vector>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <cmath>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <string>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <bitset>
 using namespace std;
 #define pb(x) push_back(x)
 #define ll long long
 #define mk(x, y) make_pair(x, y)
 #define lson l, m, rt<<1
 #define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))
 #define rson m+1, r, rt<<1|1
 #define mem1(a) memset(a, -1, sizeof(a))
 #define mem2(a) memset(a, 0x3f, sizeof(a))
 #define rep(i, n, a) for(int i = a; i<n; i++)
 #define fi first
 #define se second
 typedef pair<int, int> pll;
 const double PI = acos(-1.0);
 const double eps = 1e-;
 const int mod = 1e9+;
 const int inf = ;
 const int dir[][] = { {-, }, {, }, {, -}, {, } };
 const int maxn = 1e5+;
 ll cal(ll val) {
     return 1LL*val*(val+)/;
 }
 struct SegmentTree
 {
     ll sum[maxn<<], pre[maxn<<], suf[maxn<<];
     void pushUp(int rt, int m) {
         sum[rt] = sum[rt<<|] + sum[rt<<];
         if(pre[rt<<|]&&suf[rt<<]) {
             sum[rt] += cal(pre[rt<<|]+suf[rt<<])-cal(suf[rt<<])-cal(pre[rt<<|]);
         }
         pre[rt] = pre[rt<<];
         suf[rt] = suf[rt<<|];
         if(pre[rt] == m-(m>>)) {
             pre[rt] += pre[rt<<|];
         }
         if(suf[rt] == m>>) {
             suf[rt] += suf[rt<<];
         }
     }
     void update(int p, int val, int l, int r, int rt) {
         if(l == r) {
             sum[rt] = pre[rt] = suf[rt] = val;
             return ;
         }
         int m = l+r>>;
         if(p<=m)
             update(p, val, lson);
         else
             update(p, val, rson);
         pushUp(rt, r-l+);
     }
 }tree[];
 int main()
 {
     int cnt, n, m, x, y, a[];
     cin>>n>>m;
     for(int i = ; i<=n; i++) {
         scanf("%d", &x);
         cnt = ;
         while(x) {
             a[cnt++] = x&;
             x>>=;
         }
         for(int j = ; j<cnt; j++) {
             tree[j].update(i, a[j], , n, );
         }
     }
     while(m--) {
         scanf("%d%d", &x, &y);
         cnt = ;
         mem(a);
         while(y) {
             a[cnt++] = y&;
             y>>=;
         }
         ll ans = , mul = ;
         for(int i = ; i<; i++) {
             tree[i].update(x, a[i], , n, );
             ans += tree[i].sum[]*mul;
             mul*=;
         }
         cout<<ans<<endl;
     }
     return ;
 }